FaceBook  Twitter  

Varianta 6

Prof: Badea Daniela

¨       Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.

¨       Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.

¨       La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Aflaţi cardinalul mulţimii \(A=\left\{ x\in \mathbb{Z}|\left| 2x-1 \right|\le 3 \right\}.\)

(5p) 2. Determinaţi funcţia de gradul al doilea \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f\left( x \right)={{x}^{2}}+ax+b\)ştiind că punctul \(A\left( 0,3 \right)\in {{G}_{f}}\)şi axa de simetrie este dreapta \(d:x-1=0\).

(5p) 3. Să se rezolve ecuaţia \({{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}-2x \right)=1.\)

(5p) 4. În câte moduri, din 10 elevi poate fi ales un comitet format din 3 elevi?

(5p) 5. Aflaţi valorile reale ale lui m pentru care vectorii \(\overrightarrow{u}=m\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}\text{ i }\overrightarrow{v}=\left( m-2 \right)\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}\)sunt perpendiculari.

(5p) 6. Calculaţi \(S=\cos {{0}^{0}}+\cos {{10}^{0}}+\cos {{20}^{0}}+...+\cos {{170}^{0}}+\cos {{180}^{0}}.\)

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

matrice 6

        2.. Fie „\(*\)”:\(\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\to \mathbb{Z},\text{ }x*y=xy-4x-4y+20,\text{ }\left( \forall  \right)x,y\in \mathbb{Z}.\)

(5p) a) Determinaţi elementul neutru al legii „\(*\)”;

(5p) b) Aflaţi simetricul lui 3 în raport cu legea „\(*\)”;

(5p) c) Ştiind că legea este asociativă calculaţi \(S=1*2*3*....*2012.\)

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

       1. Fie funcţia \(f:\mathbb{R}\backslash \left\{ -1 \right\}\to \mathbb{R},f\left( x \right)=\frac{{{e}^{x}}}{x+1}.\)

(5p) a) Scrieţi ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă \({{x}_{0}}=1;\)

limite 6

(5p) c) Demonstraţi că \(f\left( x \right)\ge 1,\left( \forall  \right)x>-1.\)

        2. Fie funcţia \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f\left( x \right)=3{{x}^{2}}+1.\)

(5p) a) Arătaţi că orice primitivă a lui f este strict crescătoare.

(5p) b) Aflaţi o primitivă a funcţiei f al cărei grafic conţine punctul \(A\left( 1,3 \right);\)

(5p) c) Calculaţi aria suprafeţei cuprinse între axa absciselor, graficul funcţiei \(g:\left[ 0,1 \right]\to \mathbb{R},\) 

           \(g\left( x \right)=\left( f\left( x \right)-3{{x}^{2}}+x \right)\cdot {{e}^{x}}\) şi dreptele de ecuaţii \(x=0\text{ Si }x=1;\)