FaceBook  Twitter  

Varianta 17

Prof. Ciocănaru Viorica

 

¨       Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.

¨       Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.

¨       La toate subiectele se cer rezolvări complete.

 

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Determinaţi numărul real x pentru care numerele 3, x + 1 şi 12 sunt termeni consecutivi ai unei

         progresii geometrice cu termini pozitivi, apoi scrieţi suma termenilor.

(5p) 2. Determinaţi numerele reale nenule a și b astfel încât funcţia f : R\(\to \)f (x) = a\({{x}^{2}}+bx+1\)

        admită vârful V(1, 2), punct de maxim.

(5p) 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia \({{2}^{\sqrt{{{x}^{2}}-4}}}={{2}^{x-2}}\).

(5p) 4. Determinaţi numerele naturale pare \(\overline{ab}\) care se pot forma, ştiind că a, b\(\in \){4, 5, 6, 7}.

(5p) 5. Se consideră dreapta d : y = \(\frac{-4x+1}{7}\) şi punctul M (-2,  -1). Determinaţi distanţa de la punctul M

        la dreapta d.

(5p) 6. Transformaţi în produs  E(a) = sin a – sin 5a și calculaţi E(\(\frac{\pi }{6}\)) .

 

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

17.matrice

(5p) a) Calculaţi  A2 .

(5p) b) Aflaţi valoarea det (A – I3) det (A + I3).

(5p) c) Arătaţi că An = (3p)n-1 \(\cdot \)A, \(\forall \)n\(\in \)N*,\(\forall \)p\(\in \)R şi calculaţi A2014.

 

2. Se consideră polinomul f\(\in \)R[X],  f = X3 - 2X2 - X + m unde m este număr real și ecuaţia x4- 5x3+ 5x2 + 5x – 6 = 0 cu rădăcinile x1, x2, x3, x4.

(5p) a) Determinaţi m, număr real, pentru ca  -\(\sqrt{2}\)să fie rădăcină pentru f.

(5p) b) Determinaţi rădăcinile ecuaţiei.

(5p) c) Calculaţi f (x1) + f (x2) + f (x3) f(x4) unde  x1, x2, x3, x4 sunt rădăcinile ecuaţiei.

 

 

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcţia  f: D \(\to \)R,  f (x) = \(\ln \frac{x+3}{x-3}\).

(5p) a) Determinaţi D domeniul de definiţie al funcţiei f şi cercetaţi dacă funcţia are asimptote

        verticale.

(5p) b) Calculaţi f ’(x), unde  x\(\in \)D.

(5p) c) Calculaţi \(\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,xf(x)\).

 

 

2. Se consideră funcţiile f: R\(\to \)R, f(x) = cos x şi g: [0, \(\frac{\pi }{2}\))\(\to \)R, g(x) = \({{2}^{tgx}}\).

(5p) a) Calculaţi \(\int\limits_{{}}^{{}}{{{f}^{2}}(x)}dx\).

(5p) b) Calculaţi volumul corpului determinat de rotaţia în jurul axei Ox a graficului funcţiei g(x)/ f(x)

        pentru x\(\in \)[0, \(\frac{\pi }{4}\)].

(5p) c) Dacă In =\(\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}}{{{f}^{n}}(x)}dx\),  n\(\in \)N*, stabiliţi o relaţie de recurenţă pentru In.