FaceBook  Twitter  

Varianta 21

Prof: Ciocănaru Viorica

 

  • Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
  • Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
  • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

 

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Calculaţi numerele \(z=\frac{{{(1+i)}^{12}}}{{{i}^{2012}}}\)  şi \(\overset{\_}{\mathop{z}}\,\).

(5p) 2. Se consideră ecuaţia \({{x}^{2}}+ax+b=0,\)cu x1, x2\(\in \)R şi a, b\(\in \)Z. Arătaţi că \(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}\in \)Z.

(5p) 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 22x+1 + 2x-1=132.

(5p) 4. Aflaţi valoarea lui a\(\in \)R astfel încât în binomul \({{(a+\frac{1}{2\sqrt{2}})}^{11}}\), T9 să fie \(\frac{165}{{{2}^{11}}}\).

(5p) 5. Se consideră  punctele A(3, 2) şi B(-2, 4). Determinaţi ecuaţia mediatoarei segmentului AB. 

(5p) 6. Dacă tg2 a = 2, calculaţi cos 2a.

 

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

  1. Se consideră matricea \(A\in \)M3 (R) A = \(\left( \begin{matrix} p & p & p \\ p & p & p \\ p & p & p \\ \end{matrix} \right)\),  p\(\in \)R .

(5p) a) Calculaţi  A2 .

(5p) b) Aflaţi valoarea det (A – I3) det (A + I3).

(5p) c) Arătaţi că An = (3p)n-1 \(\cdot \)A, \(\forall \)n\(\in \)N*,\(\forall \)p\(\in \)R şi calculaţi A2012.

  1. În inelul comutativ (Z,\(*\), \(\circ \)), x\(*\)y = x + y – n şi x\(\circ \)y = xy – n(x + y) + n(n + 1), \(\forall \)x, y\(\in \)Z, \(\forall \)n\(\in \)N*.

(5p) a) Determinaţi elementul neutru al legii ” \(\circ \)”, pentru n = 2.

(5p) b) Rezolvaţi în Z\(\times \) Z sistemul \(\left\{ \begin{matrix} x*y=1 \\ x\circ y=n \\ \end{matrix} \right.\), \(\forall \)n\(\in \)N*.

(5p) c) Determinaţi a, b \(\in \) Z, a nenul, pentru ca funcţia f: Z \(\to \)Z,  f (x) = ax + b să fie un izomorfism între inelele (Z,\(*\), \(\circ \)) şi (Z, + , \(\cdot \)), \(\forall \)n\(\in \)N*.

 

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

  1. Se consideră funcţiile f: (\(\frac{2}{3}\), +\(\infty \))\(\to \)R, f(x) = ln (3x - 2), g: (1, +\(\infty \)) \(\to \)Rg(x) = logx (x +1), h: R\(\to \)Rh(x) = 2x2 + x - 3.

(5p) a) Calculaţi \(\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{h(x)}\).

(5p) b) Fie funcţia k :D\(\to \)R, k(x) = \(\frac{f(x)}{h(x)}\). Calculaţi k’(x)  şi stabiliţi domeniul său de derivabilitate.

(5p) c) Arătaţi că g este strict descrescătoare pe (1, +\(\infty \)) şi verificaţi inegalitatea log5 6 < log3 4.

  1. Se consideră funcţia f: R\(\to \)R, fn(x) = xne-x, n\(\in \)N*.

(5p) a) Calculaţi \(\int\limits_{\ln 2}^{\ln 3}{{{f}_{1}}(x)}dx\).

(5p) b) Stabiliţi o relaţie de recurenţă pentru In, cu In = \(\int{{{f}_{n}}(x)dx}\), x\(\in \)R, n\(\in \)N* şi aplicaţi relaţia găsită în cazul I2.

 (5p) c) Calculaţi \(\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\int\limits_{0}^{x}{{{f}_{n}}(t)}dt\).