Varianta 27

Prof:  Dogaru Ion

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL  I  ( 30 de puncte)

5p  1. Sǎ se calculeze partea întreagǎ a numǎrului \({{(\sqrt{5}+\sqrt{11})}^{2}}\).

5p  2. Rezolvaţi,în mulţimea R×R,  sistemul \(\left\{ \begin{matrix} {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-xy=13 \\ x+y=7 \\ \end{matrix} \right.\).

5p  3. Sǎ se determine x\(\in \)N, x > 1 astfel încât \(2C_{x}^{x-2}+A_{x}^{2}=1524\).

5p  4. Sǎ se determine probabilitatea ca alegând un element al mulţimii divizorilor naturali ai numǎrului 2012, acesta sǎ fie divizibil cu 2.

5p  5. Sǎ se calculeze modulul vectorului \(\vec{u}+\vec{v}\) ştiind cǎ  \(\vec{u}=-7\vec{i}+4\vec{j}\) şi \(\vec{v}=3\vec{i}-\vec{j}\).

5p  6. Sǎ se calculeze tgx , ştiind cǎ \(x\in (\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{4})\) şi sin2x = \(-\frac{4}{5}\).

SUBIECTUL  II  ( 30 de puncte)

1. Fie matricele A = \(\left( \begin{matrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 2 & 0 \\ 1 & 4 & -3 \\ \end{matrix} \right)\)   şi  B = \(\left( \begin{matrix} 2 \\ 7 \\ -1 \\ \end{matrix} \right)\).

5p  a)  Calculaţi rangul matricei A^*, adjuncta matricei A.

5p  b)  Arǎtaţi cǎ  A³ = 10A.

5p  c)  Rezolvaţi ecuaţia  AX = B,  unde  X\(\in \)M_3,1(C)

2. Se considerǎ polinomul  f \(\in \) C[X], \(f={{(X+i)}^{100}}+{{(X-i)}^{100}}\),care are forma algebricǎ f = \({{a}_{100}}{{X}^{100}}+{{a}_{99}}{{X}^{99}}+...+{{a}_{1}}X+{{a}_{0}}\).

5p  a)  Sǎ se calculeze \({{a}_{100}}+{{a}_{99}}\).

5p  b)  Sǎ se determine restul împǎrţirii polinomului f  la \({{X}^{2}}-1\).

5p  c)  Sǎ se demonstreze cǎ f  are toate rǎdǎcinile reale.

SUBIECTUL  III  ( 30 de puncte)

1. Se considerǎ functia f : R → R, datǎ prin f(x) = - x³ + 5x² – 3x + m.

5p  a) Determinaţi intervalele de monotonie ale funcţiei f.

5p  b) Determinaţi intervalele de concavitate ale funcţiei f.

5p  c) Determinaţi valorile reale ale parametrului m pentru care ecuaţia f(x) = 0 are trei rǎdǎcini reale distincte.

2. Pentru fiecare \(n\in \)N^*, se considerǎ funcţia \({{f}_{n}}\): [0,1] → R, \({{f}_{n}}\)(x) = (1 - x)ⁿ.

5p  a)  Sǎ se calculeze aria subgraficului funcţiei  f_n .

5p  b)  Sǎ se arate cǎ \(\int_{0}^{1}{x{{f}_{n}}}(x)dx=\frac{1}{(n+1)(n+2)},\forall n\in \)N^* .

5p  c)  Sǎ se calculeze  \(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\int_{0}^{1}{{{f}_{n}}(\frac{x}{n}})dx\).