Varianta 90

Prof. Teler Marian

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1.  Calculaţi: \({{\log }_{2}}\frac{1}{8}+{{\log }_{\frac{1}{3}}}\frac{1}{27}\).

(5p) 2. Determinaţi \(a,b\in R\), ştiind că parabolele asociate funcţiilor \(f,g:R\to R\), \(f(x)={{x}^{2}}-2x+a\),  \(g(x)=-2{{x}^{2}}+bx+1\) au acelaşi vârf.

(5p) 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia \({{\log }_{9}}\left( x+1 \right)+{{\log }_{3}}\left( x+1 \right)=\frac{3}{2}\).

(5p) 4. Determinaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulţimea \(\left\{ 7,8,9,....,70 \right\}\), acesta să fie pătrat perfect sau cub perfect.

(5p) 5. Se dau punctele \(A(1,-2),B(3,0)\). Să se determine coordonatele punctului M, ştiind că B este mijlocul segmentului \(\left( AM \right)\).

(5p) 6. Calculaţi aria triunghiului ABC, ştiind că \(AB=10,AC=24,BC=26\).

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricele \({{I}_{3}}=\left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)\) , \(A=\left( \begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ \end{matrix} \right)\) şi \(X(p)={{I}_{3}}+pA\), \(p\in R\)

(5p) a)  Să se calculeze \({{A}^{2}}-2A\),

(5p) b)  Demonstraţi că \(X(p)X(q)=X(p+q+2pq),\forall p,q\in R\),

(5p) c) Calculaţi: i) \(X(2)X\left( -\frac{2}{5} \right)\)

1. ii)  Determinaţi inversa matricei \(X(2)\)
2. În \(R\left[ X \right]\) se consideră polinomul \(f={{X}^{3}}+3{{X}^{2}}+aX-1\), cu rădăcinile \({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}\in C\).

(5p) a) Determinaţi \(a\in R\)  ştiind că polinomul f se divide prin \(X-1\).

(5p) b) Pentru \(a=-3\), calculaţi \(\frac{{{x}_{1}}+1}{{{x}_{1}}}+\frac{{{x}_{2}}+1}{{{x}_{2}}}+\frac{{{x}_{3}}+1}{{{x}_{3}}}\).

(5p) c) Pentru \(a=0\), verificaţi dacă \(\left( 1-{{x}_{1}} \right)\left( 1-{{x}_{2}} \right)\left( 1-{{x}_{3}} \right)=3\)

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcţia \(f:R-\left\{ 1 \right\}\to R,f(x)=\frac{{{x}^{2}}-3x+1}{x-1}\)

(5p) a) Să se determine asimptota către \(+\infty \) la graficul funcţiei f.

(5p) b) Verificaţi dacă \(\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(2x)-f(0)}{x}=4\)

(5p) c) Determinaţi ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul \(A\left( 0,f(0) \right)\).

2. Pentru fiecare \(n\in {{N}^{*}}\) se consideră funcţia \({{f}_{n}}:\left[ 0,1 \right]\to R\), \({{f}_{n}}(x)=\frac{{{x}^{n}}}{x+1}\) şi fie \({{I}_{n}}=\int_{0}^{1}{{{f}_{n}}(x)dx}\).

(5p) a) Calculaţi \({{I}_{1}}\) şi \({{I}_{2}}\)

(5p) b) Verificaţi dacă \({{I}_{n+1}}+{{I}_{n}}=\frac{1}{n+1}\) , \(\forall n\in {{N}^{*}}\) şi determinaţi apoi \(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{I}_{n}}\).

(5p) c) Să se calculeze \(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,n{{I}_{n}}\).