Varianta 96

Prof: Viorica Lungana

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Determinați mulțimea de adevăr a următorului predicat: p(x): „\(x\in \mathbb{Z},\frac{2x+3}{x-1}\in \mathbb{Z}\)‟. 

(5p) 2. Termenul al n-lea al unei progresii aritmetice este \({{a}_{n}}=\frac{3n-1}{6},n\ge 1\). Să se calculeze suma primilor patru termeni.

(5p) 3. Determinați \(m\in \mathbb{R}\), pentru care funcția \(f\left( x \right)={{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( {{x}^{2}}-2\left( m-2 \right)x+m \right)\) este definită pe mulțimea numerelor reale.

(5p) 4. Într-o sală de conferințe sunt 12 fotolii la masa prezidiului. În câte moduri se pot așeza pe aceste fotolii 7 membrii ai prezidiului.

(5p) 5. Determinați ecuația înălțimii din A, a unui triunghi ABC, unde A(2,5), B(1,3), C(7,0).

(5p) 6. Calculați \(\cos a+\cos \left( \frac{2\pi }{3}-a \right)+\cos \left( \frac{2\pi }{3}+a \right)\).

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricele \(A=\left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \\ \end{matrix} \right)\) și \(B=\left( \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{matrix} \right)\).

(5p) a) Arătați că \(A\cdot B=B\cdot A={{O}_{2}}\).

(5p) b) Arătați că \({{\left( A+B \right)}^{n}}={{A}^{n}}+{{B}^{n}}\).

(5p) c) Calculați \(\det \left( {{A}^{2012}}+{{B}^{2012}} \right)\) .

2. Pe mulțimea \(M=\left( 1,\infty \right)\) se definește legea „*‟ \(x*y=\sqrt{{{x}^{2}}{{y}^{2}}-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}+2}\in M\).

(5p) a) Arătați că legea este asociativă pe M.

(5p) b) Calculați elementul neutru al acestei legi și determinați elementele inversabile din mulțimea M.

(5p) c) Rezolvați ecuația \(\underbrace{x*x*x*...*x}_{\begin{matrix} de & 2012 & ori \\ \end{matrix}}=\sqrt{2}\).

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Fie \(f,g,h:\left( 0,\infty \right)\to \mathbb{R}\)

(5p) a) Calculați \(f\left( x \right)=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1+x\cdot {{e}^{nx}}}{1+{{e}^{nx}}}\).

(5p) b) Dacă \(g\left( x \right)={{e}^{x+1}}\), calculați \(h\left( x \right)=\left( g\circ f \right)\left( x \right)\).

(5p) c) Determinați punctul \(c\in \left( 1,2 \right)\) pentru care teorema lui Lagrange este adevărată pe intervalul \(\left[ 1,2 \right]\) pentru funcția \(h\).

2. Fie funcția \(f:\left[ -4,4 \right]\to \mathbb{R}\), \(f\left( x \right)=\sqrt{16-{{x}^{2}}}\).

(5p) a) Să se calculeze \(\int\limits_{0}^{4}{{{f}^{2}}\left( x \right)dx}\).

(5p) b) Să se calculeze \(\int\limits_{-\sqrt{5}}^{\sqrt{5}}{\frac{x}{f\left( x \right)}dx}\).

(5p) c) Să se demonstreze că \(0\le \int\limits_{-4}^{4}{f\left( x \right)dx}\le 32\).