Varianta 99

Prof: Viorica Lungana

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Să se determine \(a\in \mathbb{R}\) astfel încât între rădăcinile ecuației \({{x}^{2}}-2\left( a-1 \right)x-2a+1=0\) să existe relația \(\frac{{{x}_{1}}}{x_{2}^{2}}+\frac{{{x}_{2}}}{x_{1}^{2}}\ge \frac{1}{{{x}_{1}}}+\frac{1}{{{x}_{2}}}\).

(5p) 2. Fie \(f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\), \(f\left( x \right)={{x}^{2}}+2x+2;g\left( x \right)={{x}^{2}}+2x\). Ecuația \(\left( f\circ g \right)\left( x \right)=\left( g\circ f \right)\left( x \right)\) are soluții reale?

(5p) 3. Se consideră mulțimea \(A=\left\{ 1,2,...,10 \right\}\). În câte submulțimi ale mulțimii A se află elementul 1 ?

(5p) 4. Să se rezolve ecuația: \({{\log }_{7}}\left( 4\cdot {{2}^{x}}-{{2}^{x-1}} \right)=1+{{\log }_{7}}4\).

(5p) 5. Să se arate că expresia \(E\left( x \right)={{\sin }^{2}}x+2\cos x\cos a\cos \left( a+x \right)-{{\cos }^{2}}\left( a+x \right)\) nu depinde de x.

(5p) 6. Știind că imaginea punctului \(P\left( 2,3 \right)\) prin simetrie de centru \({{P}_{0}}\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)\) este punctul \({{P}^{,}}\left( 4,-5 \right)\), determinați coordonatele centrului \({{P}_{0}}\).

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Fie matricea \(A=\left( \begin{matrix} a & 1 & 1 \\ 1 & -1 & a \\ 2 & 1 & 3 \\ \end{matrix} \right)\) cu \(a\in \mathbb{R}\)

(5p) a) Să se determine \(a\in \mathbb{R}\), pentru care matricea A este inversabilă.

(5p) b) Pentru \(a=1\), să se calculeze matricea \(B=\frac{1}{\det A}\left( {{A}^{2}}-3A-5{{I}_{3}} \right)\).

(5p) c) Calculați \({{A}^{-1}}\), pentru \(a=1\).

2. Pe mulțimea \(G=\left( 1,\infty \right)-\left\{ 2 \right\}\)se definește legea de compoziție „*‟ astfel \(x*y=1+{{\left( x-1 \right)}^{\ln \left( y-1 \right)}},\left( \forall \right)x,y\in G\).

(5p) a) Studiați comutativitatea acestei legi de compoziție.

(5p) b) Studiați asociativității legii „*‟.

(5p) c) Rezolvați ecuația \(x*x*x={{e}^{27}}+1\).

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Fie șirul dat de termenul general \({{x}_{n}}=\frac{8n-3}{8n+1}\). Formăm șirul \({{a}_{n}}={{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}\cdot ...\cdot {{x}_{n}}\).

(5p) a) Să se arate că șirul \({{\left( {{a}_{n}} \right)}_{n\ge 1}}\) este strict monoton.

(5p) b) Să se arate că \({{a}_{n}}<\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{8n+5}},\left( \forall  \right)n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\).

(5p) c) Calculați limita șirului \({{\left( {{a}_{n}} \right)}_{n\ge 1}}\).

2. Fie \({{f}_{n}}:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\), \({{f}_{n}}\left( x \right)=\frac{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+8x+6}{{{\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)}^{n}}},\) unde \(n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\).

(5p) a) Descompuneți în produs de factori ireductibili în\(\mathbb{R}\)expresia \({{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+8x+6\).

(5p) b) Calculați \({{I}_{1}}\) și \({{I}_{2}}\).

(5p) c) Calculați \({{I}_{n}}=\int{{{f}_{n}}\left( x \right)dx}\).