Varianta 2

Prof: Andone Elena

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Aflaţi partea întreagă a numărului \({{\log }_{2012}}2011\).

(5p) 2. Determinaţi imaginea funcţiei \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f(x)={{x}^{2}}-4x+5\)

(5p) 3. Dacă x₁ şi x₂ sunt rădăcinile ecuaţiei x²+3x-8=0, calculaţi x₁²+x₂²

(5p) 4. Scrieţi toate submulţimile cu 3 elemente, ale mulţimii {a,b,c,d}

(5p) 5. Scrieţi ecuaţia dreptei care trece prin punctele A(5,1) şi B(2,0).

(5p) 6. Fie x, 0⁰<x<90⁰, astfel încât cosx=\(\frac{2}{3}\). Calculaţi cos(180⁰-x).

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1.Se consideră punctele A_n(2ⁿ,3ⁿ), n .

(5p) a) Scrieţi ecuaţia dreptei care trece prin punctele A₂A₃.

(5p) b) Calculaţi aria triunghiului A₂A₄A₆

(5p) c) Demonstraţi că punctele A_n,A_n+1,A_n+2 nu sunt coliniare, oricare ar fi n

2. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte următoarea lege de compoziţie: \(x*y=2xy+4x+4y+3\)

 (5p) a) Arătaţi că \(x*y=2(x+2)(y+2)-5\)

(5p) b) Verificaţi dacă legea admite  element neutru .

(5p) c) Rezolvaţi ecuaţia \(x*x*x=-7\)

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Fie \(f:(0,\infty )\to \mathbb{R},f(x)={{x}^{2}}\ln x\)

(5p) a) Calculaţi  \(\underset{x\to 0}{\mathop \lim }\,f(x)\).

(5p) b) Calculaţi derivata funcţiei f

(5p) c) Precizaţi intervalele de monotonie ale funcţiei f.

2. Se consideră funcţia \(f:\left[ 0,+\infty )\to \mathbb{R},f(x) \right.=\frac{1}{x+2}\)

(5p) a) Să se calculeze \(\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}\)

(5p) b) Să se calculeze volumul corpului obţinut prin rotaţia în jurul axei Ox, a graficului funcţiei \(g:\left[ 0,2 \right]\to \mathbb{R},g(x)=f(x)\)

(5p) c) Să se arate că orice primitivă a funcţiei f este strict crescătoare pe intervalul \(\left[ 0,+\infty ) \right.\).