FaceBook  Twitter  

MODEL 1 BAC MATEMATICĂ ȘTIINȚELE NATURII 

 

WWW.MATEINFO.RO

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Să se calculeze suma : 2+12+22+...+222.

  (5p) 2. Determinaţi funcţia de gradul al doilea \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f\left( x \right)={{x}^{2}}+ax+b\)ştiind că punctul \(A\left( 0,3 \right)\in {{G}_{f}}\)şi axa de simetrie este dreapta \(d:x-1=0\).

(5p) 3. Să se rezolve ecuaţia \({{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}-2x \right)=1.\)

(5p) 4. În câte moduri, din 10 elevi poate fi ales un comitet format din 3 elevi?

    (5p) 5. Aflaţi valorile reale ale lui m pentru care vectorii \(\overrightarrow{u}=m\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}\text{ si }\overrightarrow{v}=\left( m-2 \right)\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}\)sunt perpendiculari.

(5p)  6. Calculaţi \(\cos \alpha \)ştiind că \(\alpha \in \left( \frac{\pi }{2},\pi  \right)\text{ și }\sin \alpha =\frac{12}{13}.\)

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricele \({I}_{2}=\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1\\ \end{pmatrix}\) , \(A=\begin{pmatrix} 1&-1\\ -3&3\\ \end{pmatrix}\)

şi \(X\left( a \right)={{I}_{2}}+aA\), unde \(a\in \mathbb{Z}\).

(5p) a) Calculaţi \({{A}^{2}}-2A\).

(5p) b) Demonstraţi că \(X\left( a \right)\cdot X\left( b \right)=X\left( a+b+4ab \right),\text{ }\forall a,b\in \mathbb{Z}\).

(5p) c) Arătaţi că \(X\left( a \right)\)este matrice inversabilă, \(\forall a\in \mathbb{Z}\).

 

2. Fie polinomul \(f={{X}^{3}}+a{{X}^{2}}+bX-1\text{ }\in \mathbb{R}\left( \text{X} \right)\text{ cu r }\!\!\breve{\mathrm{a}}\!\!\text{ d }\!\!\breve{\mathrm{a}}\!\!\text{ cinile }{{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}.\)

(5p) a) Determinaţi \(a,b\in \mathbb{R}\text{ astfel  încât} f\vdots \left( X-1 \right)\) şi restul împărţirii lui f la \(X+1\)este –4 .

(5p) b) Pentru \(b=1\) aflaţi valorile lui a astfel încât \(\frac{\text{1}}{{{x}_{1}}}\text{+}\frac{\text{1}}{{{x}_{2}}}+\frac{\text{1}}{{{x}_{3}}}=\text{ }{{x}_{1}}^{\text{2}}\text{+}{{x}_{2}}^{\text{2}}+{{x}_{3}}^{2};\)

(5p) c) Dacă \(a=-1,b=1\) aflaţi valoarea determinantului  \(\begin{vmatrix} {{x}_{1}} & {{x}_{2}} & {{x}_{3}}\\ {{x}_{2}} & {{x}_{3}} & {{x}_{1}}\\ {{x}_{3}} & {{x}_{1}} & {{x}_{2}}\\ \end{vmatrix} \)

 

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Fie funcţia \(f:\mathbb{R}\backslash \left\{ -1 \right\}\to \mathbb{R},f\left( x \right)=\frac{{{e}^{x}}}{x+1}.\)

(5p) a) Scrieţi ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă \({{x}_{0}}=1;\)

(5p) b) Calculaţi  \(\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)\) și \(\underset{x\searrow -1}{\mathop{\lim }}\,f(x)\)  ;

(5p) c) Demonstraţi că \(f\left( x \right)\ge 1,\left( \forall  \right)x>-1.\)

2. Fie funcţia \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f\left( x \right)=3{{x}^{2}}+1.\)

(5p) a) Arătaţi că orice primitivă a lui f este strict crescătoare.

 (5p) b) Aflaţi o primitivă a funcţiei f al cărei grafic conţine punctul \(A\left( 1,3 \right);\)

(5p) c) Calculaţi aria suprafeţei cuprinse între axa absciselor, graficul funcţiei \(g:\left[ 0,1 \right]\to \mathbb{R},\) \(g\left( x \right)=\left( f\left( x \right)-3{{x}^{2}}+x \right)\cdot {{e}^{x}}\), şi dreptele de ecuaţii \(x=0\text{ si }x=1;\)

 

 BAREM MODEL 1 BAC MATEMATICĂ ȘTIINȚELE NATURII 2011.pdf