Idee Natura soluțiilor unui polinom

Există cumva vreo corelație între natura rădăcinilor unui polinom și pătratul rădăcinilor acestuia?
Mă refer aici la cerințe de genul „Arătați că polinomul admite doar soluții reale.”/ „Arătați co polinomul admite soluții complexe.” și, bineînțeles, nu mă refer aici la genul de polinoame care se pot descompune astfel încât eu să le pot determina soluțiile (urmând ca după aceea doar să dau „verdictul”), ci la formele „mai puțin frumoase” ale polinoamelor ce pot să apară.
Mulțumesc.

Buna ziua,

De exemplu, daca aveti un polinom cu coeficienti reali, si suma patratelor radacinilor polinomului este un numar negativ, atunci polinomul admite radacini complexe (nu toate radacinile sunt reale).

Exemplu: \(f=X^{4}-2X^{3}+10X^{2}-15X+23\in \mathbb{R}\left [ X \right] \).

\(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=\)
\(\left ( x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4} \right )^{2}-2\left ( x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4} \right )=\)
\(\left ( -2 \right )^{2}-2\cdot 10=4-20=-16<0\).

Completare: polinomul de mai sus nu are toate radacinile reale ( wolframalpha ).

Invers, in general, nu este adevarat. Se pot gasi polinoame care sa aiba toate cele patru radacini complexe, dar suma patratelor lor sa fie un numar pozitiv.

Exemplu: \(x_{1}=1+i,\: x_{2}=1-i,\: x_{3}=2+i,\: x_{4}=2-i\) si

\(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=6>0\) (altfel zis: daca suma patratelor unui polinom este pozitiv, polinomul poate admite radacini complexe).