Metode de numărare. Probabilități. Matematici financiare – teorie, formule și exemple rezolvate

Permutări \(P_n=n!\) – numărul mulțimilor ordonate formate cu toate cele \(n\) elemente distincte

Aranjamente \(A_n^k=\dfrac{n!}{(n-k)!}\) – numărul submulțimilor ordonate de \(k\) elemente alese din \(n\) (\(k\le n\))

Combinări \(C_n^k=\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\) – numărul submulțimilor neordonate de \(k\) elemente alese din \(n\)

Proprietăți ale combinărilor:

1. \(C_n^0=C_n^n=1\)2. \(C_n^1=n\)3. \(C_n^k=C_n^{n-k}\) (formula combinărilor complementare)

4. \(C_n^k+C_n^{k+1}=C_{n+1}^{k+1}\)5. \(A_n^k=C_n^k\cdot k!\)6. \(C_n^0+C_n^1+\cdots+C_n^n=2^n\)

\[(a+b)^n=C_n^0a^n+C_n^1a^{n-1}b+C_n^2a^{n-2}b^2+\cdots+C_n^nb^n=\sum_{k=0}^{n}C_n^k\,a^{n-k}b^k\]

Termenul general (al \((k+1)\)-lea termen):

\[\boxed{T_{k+1}=C_n^k\,a^{n-k}\,b^k,\qquad k=\overline{0,n}}\]

Dezvoltarea are \(n+1\) termeni. Pentru \((a-b)^n\) termenii alternează: \(T_{k+1}=(-1)^kC_n^ka^{n-k}b^k\).

Sume de coeficienți binomiali:

\(C_n^0+C_n^1+\cdots+C_n^n=2^n\);\(C_n^0+C_n^2+C_n^4+\cdots=C_n^1+C_n^3+C_n^5+\cdots=2^{n-1}\)

Suma coeficienților dezvoltării unui polinom \(f\) este \(f(1)\).

• Numărul submulțimilor unei mulțimi cu \(n\) elemente: \(2^n\).
• Numărul funcțiilor \(f:A\to B\), cu \(\operatorname{card}A=n\), \(\operatorname{card}B=m\): \(m^n\).
• Numărul funcțiilor bijective \(f:A\to A\), cu \(\operatorname{card}A=n\): \(n!\).
• Numărul funcțiilor injective \(f:A\to B\) (\(n\le m\)): \(A_m^n\).
• Numere de \(n\) cifre distincte formate cu cifre dintr-o mulțime dată: aranjamente, cu atenție la cifra \(0\) în față.

\(P(\overline{A})=1-P(A)\);\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\)

Dacă \(A\) și \(B\) sunt incompatibile: \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\). Dacă \(A\) și \(B\) sunt independente: \(P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)\).

Procente: \(p\%\) din \(x\) este \(\dfrac{p}{100}\cdot x\).

T.V.A. (\(x\) = preț fără TVA, \(p\) = procentul TVA, \(x_f\) = preț final):

\(x_f=x\left(1+\dfrac{p}{100}\right)\),\(x=\dfrac{x_f}{1+\frac{p}{100}}\),\(\text{TVA}=x_f-x\)

Dobânda simplă (\(S\) = suma depusă, \(r\) = rata anuală în %, \(n\) = ani):

\(D=\dfrac{S\cdot r\cdot n}{100}\),\(S_f=S+D=S\left(1+\dfrac{r\cdot n}{100}\right)\)

Dobânda compusă:

\(S_f=S\left(1+\dfrac{r}{100}\right)^n\),\(D=S\left[\left(1+\dfrac{r}{100}\right)^n-1\right]\)