.png){kind=icon}
.png){kind=icon}
Lecție · Matematică · Clasa a X-a
Aplicații ale Trigonometriei în Geometrie
Teorema cosinusului, teorema sinusurilor, aria triunghiului și razele cercurilor — cu exemple rezolvate pas cu pas
Teorema cosinusului
Teorema sinusurilor
Aria triunghiului
Cerc circumscris
Cerc înscris
Teorema Cosinusului
Într-un triunghi \(ABC\) cu laturile \(a, b, c\) opuse unghiurilor \(A, B, C\):
Formulele Teoremei Cosinusului
\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\]
\[b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B\]
\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\]
Din aceste formule putem exprima și cosinusul unui unghi cunoscând toate laturile:
Cosinusul unui unghi în funcție de laturi
\[\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \qquad \cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} \qquad \cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\]
⚡ Când aplic Teorema Cosinusului?
Ipoteză (ce știu)
- Toate cele 3 laturi \(a, b, c\)
- 2 laturi + unghiul dintre ele
Concluzie (ce aflu)
- Orice unghi al triunghiului
- Latura a treia
Teorema Sinusurilor
Raportul dintre fiecare latură și sinusul unghiului opus este constant și egal cu diametrul cercului circumscris \(2R\):
Formula — Teorema Sinusurilor
\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R\]
⚡ Când aplic Teorema Sinusurilor?
Ipoteză (ce știu)
- O latură + 2 unghiuri
- 2 laturi + un unghi opus uneia
Concluzie (ce aflu)
- Orice latură sau unghi
- Raza cercului circumscris \(R\)
Aria Triunghiului, \(R\) și \(r\)
Aria triunghiului — formula trigonometrică
\[\mathcal{A} = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ac\sin B = \frac{1}{2}ab\sin C\]
Formula lui Heron (dacă se cunosc toate laturile)
\[\mathcal{A} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, \quad \text{unde } p = \frac{a+b+c}{2}\]
Raza cercului circumscris
\[R = \frac{a}{2\sin A} = \frac{abc}{4\mathcal{A}}\]
Raza cercului înscris
\[r = \frac{\mathcal{A}}{p}, \quad p = \frac{a+b+c}{2}\]
Exemple rezolvate
Exemplul 1
Teorema cosinusului — calculul unui unghi
📌 Într-un triunghi \(ABC\) se cunosc: \(a = 5\) cm, \(b = 7\) cm, \(c = 8\) cm. Calculați unghiul \(A\).
1
Scriem formula pentru \(\cos A\):
\[\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\]
2
Înlocuim valorile \(a=5,\ b=7,\ c=8\):
\[\cos A = \frac{49 + 64 - 25}{2 \cdot 7 \cdot 8} = \frac{88}{112} = \frac{11}{14} \approx 0{,}7857\]
3
Calculăm unghiul:
\[A = \arccos\!\left(\frac{11}{14}\right) \approx 38{,}2°\]
Răspuns: \(A \approx 38{,}2°\)
Exemplul 2
Teorema cosinusului — calculul unei laturi
📌 Într-un triunghi \(ABC\): \(b = 6\) cm, \(c = 10\) cm, \(\hat{A} = 60°\). Calculați latura \(a\).
1
Aplicăm direct teorema cosinusului:
\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\]
2
Înlocuim: \(b=6,\ c=10,\ \cos 60° = \dfrac{1}{2}\)
\[a^2 = 36 + 100 - 2 \cdot 6 \cdot 10 \cdot \frac{1}{2} = 136 - 60 = 76\]
3
Extragem rădăcina:
\[a = \sqrt{76} = 2\sqrt{19} \approx 8{,}72 \text{ cm}\]
Răspuns: \(a = 2\sqrt{19} \approx 8{,}72\) cm
Exemplul 3
Teorema sinusurilor — calculul unei laturi
📌 Într-un triunghi \(ABC\): \(a = 10\) cm, \(\hat{A} = 45°\), \(\hat{B} = 60°\). Calculați latura \(b\).
1
Scriem teorema sinusurilor:
\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \implies b = \frac{a \cdot \sin B}{\sin A}\]
2
Înlocuim: \(\sin 45° = \dfrac{\sqrt{2}}{2},\quad \sin 60° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
\[b = \frac{10 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}} = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{10\sqrt{6}}{2} = 5\sqrt{6} \approx 12{,}25 \text{ cm}\]
Răspuns: \(b = 5\sqrt{6} \approx 12{,}25\) cm
Exemplul 4
Aria triunghiului + raza cercului înscris
📌 Într-un triunghi \(ABC\): \(a = 6\) cm, \(b = 8\) cm, \(\hat{C} = 30°\). Calculați aria \(\mathcal{A}\) și raza cercului înscris \(r\).
1
Calculăm aria:
\[\mathcal{A} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin 30° = 24 \cdot \frac{1}{2} = 12 \text{ cm}^2\]
2
Calculăm latura \(c\) cu teorema cosinusului:
\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C = 36 + 64 - 96 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 100 - 48\sqrt{3} \approx 16{,}86 \implies c \approx 4{,}11 \text{ cm}\]
3
Calculăm semiperimetrul:
\[p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{6+8+4{,}11}{2} \approx 9{,}05 \text{ cm}\]
4
Calculăm raza cercului înscris:
\[r = \frac{\mathcal{A}}{p} = \frac{12}{9{,}05} \approx 1{,}33 \text{ cm}\]
Răspuns: \(\mathcal{A} = 12\) cm² și \(r \approx 1{,}33\) cm
Exemplul 5
Raza cercului circumscris
📌 Într-un triunghi \(ABC\): \(a = 7\) cm, \(\hat{A} = 40°\). Calculați raza \(R\) a cercului circumscris.
1
Aplicăm formula din teorema sinusurilor:
\[R = \frac{a}{2\sin A}\]
2
Înlocuim: \(a = 7,\quad \sin 40° \approx 0{,}6428\)
\[R = \frac{7}{2 \cdot 0{,}6428} = \frac{7}{1{,}2856} \approx 5{,}45 \text{ cm}\]
Răspuns: \(R \approx 5{,}45\) cm
