Varianta 1

Prof. Alexandru Elena-Marcela

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Arătați că \({{(1-i)}^{16}}\) este număr real.

(5p) 2. Determinați valoarea minimă a funcției \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\), \(f(x)=2{{x}^{2}}-8x+1\).

(5p) 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \(\sqrt{x}+\sqrt{9-x}=3\).

(5p) 4. Calculați probabilitatea ca, alegând la întâmplare un număr natural de două cifre, acesta să fie pătrat perfect.

(5p) 5. Determinați coordonatele centrului de greutate al \(\Delta ABC\) știind că \(A(-2,-1)\), \(B(2,0)\) și \(C(0,7)\).

(5p) 6. Determinați măsura unghiului A a triunghiului ABC ascuțitunghic care are \(BC=4\sqrt{3}\) și lungimea razei cercului circumscris egală cu 4.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricea \(M=\left( \begin{matrix} 0 & 3 \\ 1 & 0 \\ \end{matrix} \right)\quad\) și mulțimea \(C(M)=\left\{ A=\left( \begin{matrix} x & 3y \\ y & x \\ \end{matrix} \right),\ \,x,y\in C \right\}\)

(5p) a) Arătați că \(\forall \)\(A\in C(M)\), \(AM=MA\);

(5p) b) Arătați că dacă \(B\in C(M)\)și \({{B}^{2}}={{O}_{2}}\) atunci \(B={{O}_{2}}\);

(5p) c) Arătați că dacă \(C\in C(M)\), \(C\ne {{O}_{2}}\) și \(C\) are toate elementele raționale, atunci \(\det C\ne 0\).

2. Se consideră polinomul \(f(x)={{x}^{3}}-x+a\) cu \(a\in \mathbb{R}\).

(5p) a) Determinați rădăcinile polinomului știind că \(f(-2)=-12\);

(5p) b) Calculați \(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}\);

(5p) c) Determinați \(a\in \mathbb{R}\) pentru care polinomul f are rădăcini întregi.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția \(f:D\to \mathbb{R}\), \(f(x)=\ln \,(e-{{e}^{\frac{1}{x}}})\).

(5p) a)  Determinați domeniul de definiție \(D\) al funcției \(f\);

(5p) b)  Determinați ecuația asimptotei orizontale la graficul funcției \(f\);

(5p) c)  Studiați monotonia funcției \(f\) pe \(D\).

2. Pentru fiecare număr natural nenul \(n\), se consideră numărul \({{I}_{n}}=\int _{0}^{1}{{x}^{n}}{{e}^{x}}dx\).

(5p) a) Calculați \({{I}_{2}}\);

(5p) b) Arătați că \({{I}_{n+1}}=e-(n+1){{I}_{n}}\), pentru orice număr natural nenul \(n\);

(5p) c) Calculați \(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{I}_{n}}\). 

CLICK PENTRU BAREM