Varianta 2

Prof.  Alexandru Elena-Marcela

¨       Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.

¨       Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.

¨       La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Calculați modulul numărului complex $z=\frac{9-2i}{7+6i}$.

(5p) 2. Determinați valoarea maximă a funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\quad f(x)=-{{x}^{2}}-2x+6$.

(5p) 3.Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${{\log }_{2}}x+{{\log }_{2}}(5-2x)=1$.

(5p) 4. Calculați probabilitatea ca, alegând la întâmplare un număr $\overline{xy}$ din mulțimea numerelor

naturale de două cifre, să avem $x\cdot y=12$.

(5p) 5. Determinați ecuația medianei duse din vârful B al triunghiului ABC, unde A(-2,-1), B(1,2)

și C(0,5).

(5p) 6. Calculați lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABC știind că AB=16 și

            cos C=$\frac{3}{5}$.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

(5p) a) Arătați că $\det \ A\ne 0$.

(5p) b) Calculați E(A), dacă $E(X)={{X}^{2}}-X+{{I}_{3}}$.

(5p) c) Calculați inversa matricei A.

2. Se consideră polinomul $f(x)={{x}^{3}}-2mx+m+1,\ m\in \mathbb{R}$.

(5p) a) Determinați m astfel încât polinomul $f(x)$ să se dividă cu x-1.

(5p) b) Pentru m=2 calculați $(1-{{x}_{1}})(1-{{x}_{2}})(1-{{x}_{3}}),$ unde ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}$$\in C$ sunt rădăcinile sale.

(5p) c) Determinați m astfel încât restul împărțirii polinomului la x+1 să fie egal cu 1.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\quad f(x)=\sqrt{{{x}^{2}}+1}$.

(5p) a) Determinați soluțiile reale ale ecuației  ${{f}^{4}}(x)-2{{f}^{2}}(x)-15=0$.

(5p) b) Calculați $f'(x)$.

(5p) c) Arătați că f este crescătoare pe intervalul $[0,+\infty )$.

2. Pentru fiecare număr natural n se consideră numărul ${{I}_{n}}=\int _{0}^{1}\frac{{{x}^{n}}}{1+{{x}^{2}}}dx$.

(5p) a) Calculați ${{I}_{1}}$.

(5p) b) Arătați că ${{I}_{n}}=\frac{1}{n-1}-{{I}_{n-2}}$, $(\forall )\,n\in N$.

(5p) c) Calculați ${{I}_{2n+1}}$, $n\in N$.