Varianta 2

Prof.  Alexandru Elena-Marcela

¨       Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.

¨       Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.

¨       La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Calculați modulul numărului complex \(z=\frac{9-2i}{7+6i}\).

(5p) 2. Determinați valoarea maximă a funcției \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\quad f(x)=-{{x}^{2}}-2x+6\).

(5p) 3.Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \({{\log }_{2}}x+{{\log }_{2}}(5-2x)=1\).

(5p) 4. Calculați probabilitatea ca, alegând la întâmplare un număr \(\overline{xy}\) din mulțimea numerelor

naturale de două cifre, să avem \(x\cdot y=12\).

(5p) 5. Determinați ecuația medianei duse din vârful B al triunghiului ABC, unde A(-2,-1), B(1,2)

și C(0,5).

(5p) 6. Calculați lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABC știind că AB=16 și

            cos C=\(\frac{3}{5}\).

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

(5p) a) Arătați că \(\det \ A\ne 0\).

(5p) b) Calculați E(A), dacă \(E(X)={{X}^{2}}-X+{{I}_{3}}\).

(5p) c) Calculați inversa matricei A.

2. Se consideră polinomul \(f(x)={{x}^{3}}-2mx+m+1,\ m\in \mathbb{R}\).

(5p) a) Determinați m astfel încât polinomul \(f(x)\) să se dividă cu x-1.

(5p) b) Pentru m=2 calculați \((1-{{x}_{1}})(1-{{x}_{2}})(1-{{x}_{3}}),\) unde \({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}\)\(\in C\) sunt rădăcinile sale.

(5p) c) Determinați m astfel încât restul împărțirii polinomului la x+1 să fie egal cu 1.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\quad f(x)=\sqrt{{{x}^{2}}+1}\).

(5p) a) Determinați soluțiile reale ale ecuației  \({{f}^{4}}(x)-2{{f}^{2}}(x)-15=0\).

(5p) b) Calculați \(f'(x)\).

(5p) c) Arătați că f este crescătoare pe intervalul \([0,+\infty )\).

2. Pentru fiecare număr natural n se consideră numărul \({{I}_{n}}=\int _{0}^{1}\frac{{{x}^{n}}}{1+{{x}^{2}}}dx\).

(5p) a) Calculați \({{I}_{1}}\).

(5p) b) Arătați că \({{I}_{n}}=\frac{1}{n-1}-{{I}_{n-2}}\), \((\forall )\,n\in N\).

(5p) c) Calculați \({{I}_{2n+1}}\), \(n\in N\).