Prof. Alexandru Elena-Marcela

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Determinați numerele reale a și b știind că a+ib este conjugatul numărului complex \(z=\frac{1}{1-i}-\frac{1}{1+i}\).

(5p) 2. Determinați coordonatele vârfului parabolei asociate funcției \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\quad f(x)={{x}^{2}}-6x+5\).

(5p) 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \({{3}^{x}}+{{9}^{\frac{x+1}{2}}}=36\).

(5p) 4. Calculați probabilitatea ca, alegând la întâmplare o pereche (x,y) din produsul cartezian \(M\times M\) să avem x+y=5.

(5p) 5. Determinați \(a\in \mathbb{R}\) pentru care punctele A(1,a), B(4,1) și C(-1,-4) sunt coliniare.

(5p) 6. Calculați lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABC știind că AC=6 și cos B=\(\frac{1}{2}\).

SUBIECTUL II (30 de puncte)

1. Se consideră matricele \(A=\) \(\left( \begin{matrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)\) și \(X=\) \(\left( \begin{matrix} 3 & 5 \\ x & y \\ \end{matrix} \right)\). (5p) a) Calculați AX, XA și A+X. (5p) b) Determinați x și y astfel încât AX=XA. (5p) c) Arătați că \({{A}^{n}}=\) \(\left( \begin{matrix} 1 & 3n \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)\),\((\forall )\,n\in N\).

2. Se consideră polinomul \(f(x)=(m+1){{x}^{2}}+2mx+m+1,\quad m\in \mathbb{R}.\)

(5p) a) Determinați \(m\in \mathbb{R}\) pentru care polinomul \(f(x)\) este un pătrat perfect.

(5p) b) Determinați valorile lui m pentru care polinomul \(f(x)\) are extremul în punctul x=2.

(5p) c) Arătați că pentru m=2 polinomul \(f(x)\) îl divide pe \(g(x)=3{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-x-3\).

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\backslash \{-1\}\to \mathbb{R},\quad f(x)=\frac{x-1}{x+1}\).

(5p) a) Calculați \(\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f{{(x)}^{x}}\).

(5p) b) Calculați \(f(x)\), \(x\in \)\(\mathbb{R}\backslash \{-1\}\).

(5p) c) Demonstrați că funcția \(f\) este convexă pe intervalul \((-\infty ,-1)\).

2. Se consideră \({{f}_{n}}:[0,1]\to \mathbb{R},\) \({{f}_{n}}(x)={{x}^{n}}{{e}^{1-x}}\), unde n este număr natural nenul.

(5p) a) Arătați că,  \(0\le {{f}_{n}}(x)\le 1,\quad (\forall )\ x\in [0,1]\).

(5p) b) Calculați  \(\int _{0}^{1}{{f}_{1}}(x)dx\).

(5p) c) Dacă  \({{I}_{n}}=\int _{0}^{1}{{x}^{n}}{{e}^{1-x}}dx\), arătați că \({{I}_{n}}=n{{I}_{n-1}}-1,\quad (\forall )\ n\ge 2\).