VARIANTA 4

BAC MATEMATICĂ MATE-INFO 

Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică.

Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică.

¨       Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.

¨        Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.

¨       La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

  (5p) 1. Să se rezolve ecuaţia \(1+3+5+..+x=100\).

  (5p) 2. Determinaţi funcţia de gradul al doilea \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f\left( x \right)={{x}^{2}}+ax+b\)ştiind că punctul \(A\left( 0,3 \right)\in {{G}_{f}}\)şi axa de simetrie este dreapta \(d:x-1=0\).

(5p) 3. Să se rezolve ecuaţia \({{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}-2x \right)=1.\)

(5p) 4. În câte moduri, din 10 elevi poate fi ales un comitet format din 3 elevi?

     (5p) 5. Fie \(\Delta \text{ABC}\)şi punctele M, N astfel încât \(\text{2}\overrightarrow{\text{MB}}=-\overrightarrow{\text{MA}}\text{, }\overrightarrow{\text{BN}}=\text{2}\overrightarrow{\text{NC}}.\) Demonstraţi că \(\overrightarrow{\text{MN}}\text{=}-\frac{\text{1}}{\text{3}}\overrightarrow{\text{AB}}+\frac{\text{2}}{\text{3}}\overrightarrow{\text{AC}}.\)

(5p)  6. Calculaţi \(\cos \alpha \) ştiind că \(\alpha \in \left( \frac{\pi }{2},\pi  \right)\text{ și }\sin \alpha =\frac{12}{13}.\)

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1.Se consideră sistemul \(\begin{cases} 3x+y-2z & =0\\ x+y-az & =0\\ x+3y-2z & =0 \end{cases}\), cu \(a\) aparține numerelor reale.

 (5p)      a) Dacă notăm cu \(A\) matricea sistemului, atunci să se determine rangul matricei \(A\) în funcţie de \(a\) .

(5p)      b) Să se rezolve sistemul pentru \(a=1\) .

(5p)     c) Să se găsească o soluţie \(\left( {{x}_{0,}}{{y}_{0}},{{z}_{0}} \right)\)a sistemului cu proprietatea \(x_{0}^{3}+y_{0}^{2}-{{z}_{0}}=0\).

  2. Fie polinomul \(f={{X}^{3}}+a{{X}^{2}}+bX-1\text{ }\in \mathbb{R}\left( \text{X} \right)\text{ cu r }\!\!\breve{\mathrm{a}}\!\!\text{ d }\!\!\breve{\mathrm{a}}\!\!\text{ cinile }{{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}.\)

(5p) a) Determinaţi \(a,b\in \mathbb{R}\text{ astfel  încât} f\vdots \left( X-1 \right)\) şi restul împărţirii lui f la \(X+1\)este –4 .

(5p) b) Pentru \(b=1\) aflaţi valorile lui a astfel încât \(\frac{\text{1}}{{{x}_{1}}}\text{+}\frac{\text{1}}{{{x}_{2}}}+\frac{\text{1}}{{{x}_{3}}}=\text{ }{{x}_{1}}^{\text{2}}\text{+}{{x}_{2}}^{\text{2}}+{{x}_{3}}^{2};\)

(5p) c) Dacă \(a=-1,b=1\) aflaţi valoarea determinantului  \(\begin{vmatrix} {{x}_{1}} & {{x}_{2}} & {{x}_{3}}\\ {{x}_{2}} & {{x}_{3}} & {{x}_{1}}\\ {{x}_{3}} & {{x}_{1}} & {{x}_{2}}\\ \end{vmatrix} \)

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcţia \(f:\mathbb{R}\)\\(\left\{ -3 \right\}\to \mathbb{R},\text{ }f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}+4x+4}{x+3}\).

(5p) a) Să se scrie ecuaţia asimptotei oblice spre \(+\infty \) a graficului funcţiei \(f\).

(5p) b) Să se determine punctele de extrem pentru funcţia \(f\).

(5p) c) Să se calculeze \(\underset{x\to +\infty }{\mathop \lim }\,{{\left( \frac{f\left( x \right)}{x} \right)}^{x}}\).

2. Se consideră şirul \({{I}_{n}}=\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{n}}\sqrt{1-x}}dx,\text{ }n\in \mathbb{N}\).

(5p) a) Să se calculeze \({{I}_{0}}\)şi \({{I}_{1}}\).

(5p) b) Să se arate că \({{I}_{n}}=\frac{2n}{2n+3}{{I}_{n-1}},\text{ }\forall n\ge 1\).

(5p) c) Să se studieze monotonia şirului \({{\left( {{I}_{n}} \right)}_{n\ge 0}}\).

 BAREM