VARIANTA 4

BAC MATEMATICĂ MATE-INFO 

Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică.

Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică - informatică.

¨       Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.

¨        Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.

¨       La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

  (5p) 1. Să se rezolve ecuaţia $1+3+5+..+x=100$.

  (5p) 2. Determinaţi funcţia de gradul al doilea $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f\left( x \right)={{x}^{2}}+ax+b$ştiind că punctul $A\left( 0,3 \right)\in {{G}_{f}}$şi axa de simetrie este dreapta $d:x-1=0$.

(5p) 3. Să se rezolve ecuaţia ${{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}-2x \right)=1.$

(5p) 4. În câte moduri, din 10 elevi poate fi ales un comitet format din 3 elevi?

     (5p) 5. Fie $\Delta \text{ABC}$şi punctele M, N astfel încât $\text{2}\overrightarrow{\text{MB}}=-\overrightarrow{\text{MA}}\text{, }\overrightarrow{\text{BN}}=\text{2}\overrightarrow{\text{NC}}.$ Demonstraţi că $\overrightarrow{\text{MN}}\text{=}-\frac{\text{1}}{\text{3}}\overrightarrow{\text{AB}}+\frac{\text{2}}{\text{3}}\overrightarrow{\text{AC}}.$

(5p)  6. Calculaţi $\cos \alpha$ ştiind că $\alpha \in \left( \frac{\pi }{2},\pi  \right)\text{ și }\sin \alpha =\frac{12}{13}.$

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1.Se consideră sistemul $\begin{cases} 3x+y-2z & =0\\ x+y-az & =0\\ x+3y-2z & =0 \end{cases}$, cu $a$ aparține numerelor reale.

 (5p)      a) Dacă notăm cu $A$ matricea sistemului, atunci să se determine rangul matricei $A$ în funcţie de $a$ .

(5p)      b) Să se rezolve sistemul pentru $a=1$ .

(5p)     c) Să se găsească o soluţie $\left( {{x}_{0,}}{{y}_{0}},{{z}_{0}} \right)$a sistemului cu proprietatea $x_{0}^{3}+y_{0}^{2}-{{z}_{0}}=0$.

  2. Fie polinomul $f={{X}^{3}}+a{{X}^{2}}+bX-1\text{ }\in \mathbb{R}\left( \text{X} \right)\text{ cu r }\!\!\breve{\mathrm{a}}\!\!\text{ d }\!\!\breve{\mathrm{a}}\!\!\text{ cinile }{{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}.$

(5p) a) Determinaţi $a,b\in \mathbb{R}\text{ astfel  încât} f\vdots \left( X-1 \right)$ şi restul împărţirii lui f la $X+1$este –4 .

(5p) b) Pentru $b=1$ aflaţi valorile lui a astfel încât $\frac{\text{1}}{{{x}_{1}}}\text{+}\frac{\text{1}}{{{x}_{2}}}+\frac{\text{1}}{{{x}_{3}}}=\text{ }{{x}_{1}}^{\text{2}}\text{+}{{x}_{2}}^{\text{2}}+{{x}_{3}}^{2};$

(5p) c) Dacă $a=-1,b=1$ aflaţi valoarea determinantului  $\begin{vmatrix} {{x}_{1}} & {{x}_{2}} & {{x}_{3}}\\ {{x}_{2}} & {{x}_{3}} & {{x}_{1}}\\ {{x}_{3}} & {{x}_{1}} & {{x}_{2}}\\ \end{vmatrix}$

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcţia $f:\mathbb{R}$\$\left\{ -3 \right\}\to \mathbb{R},\text{ }f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}+4x+4}{x+3}$.

(5p) a) Să se scrie ecuaţia asimptotei oblice spre $+\infty$ a graficului funcţiei $f$.

(5p) b) Să se determine punctele de extrem pentru funcţia $f$.

(5p) c) Să se calculeze $\underset{x\to +\infty }{\mathop \lim }\,{{\left( \frac{f\left( x \right)}{x} \right)}^{x}}$.

2. Se consideră şirul ${{I}_{n}}=\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{n}}\sqrt{1-x}}dx,\text{ }n\in \mathbb{N}$.

(5p) a) Să se calculeze ${{I}_{0}}$şi ${{I}_{1}}$.

(5p) b) Să se arate că ${{I}_{n}}=\frac{2n}{2n+3}{{I}_{n-1}},\text{ }\forall n\ge 1$.

(5p) c) Să se studieze monotonia şirului ${{\left( {{I}_{n}} \right)}_{n\ge 0}}$.

 BAREM