Varianta 5

Prof: Badea Daniela

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Aflaţi \(x\in \mathbb{N}\) astfel încât \(2+5+8+....+x=155\).

(5p) 2. Dacă \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\)sunt soluţiile ecuaţiei \({{x}^{2}}-x+m=0,m\in \mathbb{R}\)aflaţi m ştiind că \(\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=1.\)

(5p) 3. Rezolvaţi în \(\mathbb{R}\)ecuaţia \(\sqrt{x-1}=5-2x.\)

(5p) 4. Arătaţi că numărul \(\text{N}=A_{10}^{2}+C_{10}^{2}+3{{P}_{3}}\)este divizibil cu 17.

(5p) 5. Determinaţi valorile reale ale lui x dacă aria \(\Delta \text{ABO}\)este 3 ştiind că \(\text{A}\left( x\text{,1} \right),\text{B}\left( 2x,-1 \right),\text{O}\left( 0,0 \right).\)

(5p) 6. Fie \(\Delta \text{ABC}\)şi punctele M, N astfel încât \(\text{2}\overrightarrow{\text{MB}}=-\overrightarrow{\text{MA}}\text{, }\overrightarrow{\text{BN}}=\text{2}\overrightarrow{\text{NC}}.\) Demonstraţi că \(\overrightarrow{\text{MN}}\text{=}-\frac{\text{1}}{\text{3}}\overrightarrow{\text{AB}}+\frac{\text{2}}{\text{3}}\overrightarrow{\text{AC}}.\)

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. \(M=\left\{ A\left( a,b \right)=\left( \begin{matrix} a & b \\ 0 & a \\ \end{matrix} \right)|a,b\in \mathbb{R} \right\}\).

(5p) a) Arătaţi că \(A\left( a,b \right)\cdot A\left( x,y \right)=A\left( ax,ay+bx \right),\left( \forall  \right)A\left( a,b \right),A\left( x,y \right)\in M\);

(5p) b) Calculaţi \({{A}^{n}}\left( a,b \right),\text{ }n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\);

(5p) c) Determinaţi matricele \(A\left( a,b \right)\in M\text{ astfel  }\!\!\hat{\mathrm{i}}\!\!\text{ nc }\!\!\hat{\mathrm{a}}\!\!\text{ t }{{A}^{2012}}\left( a,b \right)=A\left( 1,2012 \right)\).

 2. Fie polinomul \(f={{X}^{3}}+a{{X}^{2}}+bX-1\text{ }\in \mathbb{R}\left[ \text{X} \right]\text{ cu r }\!\!\breve{\mathrm{a}}\!\!\text{ d }\!\!\breve{\mathrm{a}}\!\!\text{ cinile }{{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}.\)

(5p) a) Determinaţi \(a,b\in \mathbb{R}\text{ astfel  incat}f\vdots \left( X-1 \right)\)şi restul împărţirii lui f la \(X+1\)este –4 .

(5p) b) Pentru \(b=1\) aflaţi valorile lui a astfel încât \(\frac{\text{1}}{{{x}_{1}}}\text{+}\frac{\text{1}}{{{x}_{2}}}+\frac{\text{1}}{{{x}_{3}}}=\text{ }{{x}_{1}}^{\text{2}}\text{+}{{x}_{2}}^{\text{2}}+{{x}_{3}}^{2};\)

(5p) c) Dacă \(a=-1,b=1\) aflaţi valoarea determinantului \(\Delta =\left| \begin{matrix} {{x}_{1}} & {{x}_{2}} & {{x}_{3}} \\ {{x}_{2}} & {{x}_{3}} & {{x}_{1}} \\ {{x}_{3}} & {{x}_{1}} & {{x}_{2}} \\ \end{matrix} \right|.\)

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

       1. Fie funcţia \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f\left( x \right)=\left| {{x}^{2}}-x-2 \right|\).

(5p) a) Studiaţi derivabilitatea funcţiei f ;

(5p) b) Stabiliţi monotonia funcţiei f ;

(5p) c) Aflaţi ecuaţia asimptotei spre \(\infty \)la graficul funcţiei \(h:\mathbb{R}\to \mathbb{R},h\left( x \right)=\sqrt{f\left( x \right)}.\)

2. Fie \(f:\left( 0,\infty \right)\to \mathbb{R},f\left( x \right)=\left\{ \begin{align} & \ln x;\text{ }x\in \left( 0,e \right) \\ & x-e+1;\text{ }x\in \left[ e,\infty \right) \\ \end{align} \right.\)

(5p) a) Arătaţi că f admite primitive pe \(\left( 0,\infty  \right)\);

(5p) b) Aflaţi aria domeniului plan cuprins între graficul funcţiei \(h:\left[ {{e}^{-1}},1 \right]\to \mathbb{R},\text{ }h\left( x \right)=x\cdot f\left( x \right),\)axa absciselor şi dreptele de ecuaţii \(x={{e}^{-1}},x=1\);

(5p) c) Demonstraţi că \(\int\limits_{1}^{2}{{{f}^{2012}}\left( x \right)dx\le \frac{1}{2013}}\).