Varianta 6

Prof: Badea Daniela

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Aflaţi cardinalul mulţimii \(A=\left\{ x\in \mathbb{Z}|\left| 2x-1 \right|\le 3 \right\}.\)

(5p) 2. Determinaţi funcţia de gradul al doilea \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f\left( x \right)={{x}^{2}}+ax+b\)ştiind că punctul \(A\left( 0,3 \right)\in {{G}_{f}}\)şi axa de simetrie este dreapta \(d:x-1=0\).

(5p) 3. Să se rezolve ecuaţia \({{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}-2x \right)=1.\)

(5p) 4. În câte moduri, din 10 elevi poate fi ales un comitet format din 3 elevi?

(5p) 5. Aflaţi valorile reale ale lui m pentru care vectorii \(\overrightarrow{u}=m\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}\text{ i }\overrightarrow{v}=\left( m-2 \right)\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}\)sunt perpendiculari.

(5p) 6. Calculaţi \(S=\cos {{0}^{0}}+\cos {{10}^{0}}+\cos {{20}^{0}}+...+\cos {{170}^{0}}+\cos {{180}^{0}}.\)

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Fie matricele \(A=\left( \begin{matrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \\ \end{matrix} \right),\text{ }{{I}_{2}}=\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)\)şi mulţimea \(\text{M}\left( A \right)=\left\{ x\in {{M}_{2}}\left( \mathbb{R} \right)|XA=AX \right\}.\)

(5p) a) Să se arate că \({{\text{A}}^{\text{2012}}}={{2}^{1006}}\cdot {{I}_{2}}\text{ };\)

(5p) b) Să se arate că, dacă \(X\in \text{M}\left( A \right)\), atunci există \(a,b\in \mathbb{R}\)astfel încât \(X=\left( \begin{matrix} a & 2b \\ b & a \\ \end{matrix} \right);\)

(5p) c) Demonstraţi că \(\text{A+}{{\text{A}}^{\text{3}}}\text{+}{{\text{A}}^{\text{5}}}\text{+}....\text{+}{{\text{A}}^{\text{2011}}}=\left( {{2}^{1006}}-1 \right)A\text{ i}\) \({{\text{A}}^{\text{2}}}\text{+}{{\text{A}}^{\text{4}}}\text{+}{{\text{A}}^{\text{6}}}\text{+}....\text{+}{{\text{A}}^{\text{2012}}}=2\left( {{2}^{1006}}-1 \right){{I}_{2}}.\)

2. Fie „\(*\)”:\(\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\to \mathbb{Z},\text{ }x*y=xy-4x-4y+20,\text{ }\left( \forall  \right)x,y\in \mathbb{Z}.\)

(5p) a) Determinaţi elementul neutru al legii „\(*\)”;

(5p) b) Aflaţi simetricul lui 3 în raport cu legea „\(*\)”;

(5p) c) Ştiind că legea este asociativă calculaţi \(S=1*2*3*....*2012.\)

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

       1. Fie funcţia \(f:\mathbb{R}\backslash \left\{ -1 \right\}\to \mathbb{R},f\left( x \right)=\frac{{{e}^{x}}}{x+1}.\)

(5p) a) Scrieţi ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă \({{x}_{0}}=1;\)

(5p) b) Calculaţi \(\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\text{ i }\underset{\begin{smallmatrix} x\to -1 \\ x>-1 \end{smallmatrix}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right);\)

(5p) c) Demonstraţi că \(f\left( x \right)\ge 1,\left( \forall  \right)x>-1.\)

        2. Fie funcţia \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f\left( x \right)=3{{x}^{2}}+1.\)

(5p) a) Arătaţi că orice primitivă a lui f este strict crescătoare.

(5p) b) Aflaţi o primitivă a funcţiei f al cărei grafic conţine punctul \(A\left( 1,3 \right);\)

(5p) c) Calculaţi aria suprafeţei cuprinse între axa absciselor, graficul funcţiei \(g:\left[ 0,1 \right]\to \mathbb{R},\) \(g\left( x \right)=\left( f\left( x \right)-3{{x}^{2}}+x \right)\cdot {{e}^{x}}\) şi dreptele de ecuaţii \(x=0\text{ Si }x=1;\)