Varianta 6

Prof: Badea Daniela

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Aflaţi cardinalul mulţimii $A=\left\{ x\in \mathbb{Z}|\left| 2x-1 \right|\le 3 \right\}.$

(5p) 2. Determinaţi funcţia de gradul al doilea $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f\left( x \right)={{x}^{2}}+ax+b$ştiind că punctul $A\left( 0,3 \right)\in {{G}_{f}}$şi axa de simetrie este dreapta $d:x-1=0$.

(5p) 3. Să se rezolve ecuaţia ${{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}-2x \right)=1.$

(5p) 4. În câte moduri, din 10 elevi poate fi ales un comitet format din 3 elevi?

(5p) 5. Aflaţi valorile reale ale lui m pentru care vectorii $\overrightarrow{u}=m\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}\text{ i }\overrightarrow{v}=\left( m-2 \right)\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}$sunt perpendiculari.

(5p) 6. Calculaţi $S=\cos {{0}^{0}}+\cos {{10}^{0}}+\cos {{20}^{0}}+...+\cos {{170}^{0}}+\cos {{180}^{0}}.$

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Fie matricele $A=\left( \begin{matrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \\ \end{matrix} \right),\text{ }{{I}_{2}}=\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)$şi mulţimea $\text{M}\left( A \right)=\left\{ x\in {{M}_{2}}\left( \mathbb{R} \right)|XA=AX \right\}.$

(5p) a) Să se arate că ${{\text{A}}^{\text{2012}}}={{2}^{1006}}\cdot {{I}_{2}}\text{ };$

(5p) b) Să se arate că, dacă $X\in \text{M}\left( A \right)$, atunci există $a,b\in \mathbb{R}$astfel încât $X=\left( \begin{matrix} a & 2b \\ b & a \\ \end{matrix} \right);$

(5p) c) Demonstraţi că $\text{A+}{{\text{A}}^{\text{3}}}\text{+}{{\text{A}}^{\text{5}}}\text{+}....\text{+}{{\text{A}}^{\text{2011}}}=\left( {{2}^{1006}}-1 \right)A\text{ i}$ ${{\text{A}}^{\text{2}}}\text{+}{{\text{A}}^{\text{4}}}\text{+}{{\text{A}}^{\text{6}}}\text{+}....\text{+}{{\text{A}}^{\text{2012}}}=2\left( {{2}^{1006}}-1 \right){{I}_{2}}.$

2. Fie „$*$”:$\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\to \mathbb{Z},\text{ }x*y=xy-4x-4y+20,\text{ }\left( \forall  \right)x,y\in \mathbb{Z}.$

(5p) a) Determinaţi elementul neutru al legii „$*$”;

(5p) b) Aflaţi simetricul lui 3 în raport cu legea „$*$”;

(5p) c) Ştiind că legea este asociativă calculaţi $S=1*2*3*....*2012.$

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

       1. Fie funcţia $f:\mathbb{R}\backslash \left\{ -1 \right\}\to \mathbb{R},f\left( x \right)=\frac{{{e}^{x}}}{x+1}.$

(5p) a) Scrieţi ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă ${{x}_{0}}=1;$

(5p) b) Calculaţi $\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\text{ i }\underset{\begin{smallmatrix} x\to -1 \\ x>-1 \end{smallmatrix}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right);$

(5p) c) Demonstraţi că $f\left( x \right)\ge 1,\left( \forall  \right)x>-1.$

        2. Fie funcţia $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f\left( x \right)=3{{x}^{2}}+1.$

(5p) a) Arătaţi că orice primitivă a lui f este strict crescătoare.

(5p) b) Aflaţi o primitivă a funcţiei f al cărei grafic conţine punctul $A\left( 1,3 \right);$

(5p) c) Calculaţi aria suprafeţei cuprinse între axa absciselor, graficul funcţiei $g:\left[ 0,1 \right]\to \mathbb{R},$ $g\left( x \right)=\left( f\left( x \right)-3{{x}^{2}}+x \right)\cdot {{e}^{x}}$ şi dreptele de ecuaţii $x=0\text{ Si }x=1;$