Varianta 7

Prof. Badea Ion

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Fie progresia aritmetică \({{\left( {{a}_{n}} \right)}_{n\in {{\mathbb{N}}^{*}}}}\text{cu }{{a}_{2}}=-12,\text{ }{{a}_{3}}=-9.\)Determinaţi \(n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\)astfel încât suma primilor n termeni să fie zero.

(5p) 2. Determinaţi elementele mulţimii \(A=\left\{ x\in \mathbb{N}|\frac{{{x}^{2}}-7}{x-1}\le 1 \right\}.\)

(5p) 3. Rezolvaţi în \(\mathbb{R}\)ecuaţia \({{\left( \frac{2}{3} \right)}^{x+1}}+{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{1-x}}=\frac{13}{9}\).

(5p) 4. Câte numere naturale de trei cifre distincte se pot forma cu cifrele 0,1,2,3,4?

(5p) 5. Fie punctele A(3,0), B(-2,-2), C(2,2). Scrieţi ecuaţia dreptei determinată de mijloacele laturilor (CA) şi (CB).

(5p) 6. Aflaţi raza cercului înscris în triunghiul ABC, de laturi 5, 6 şi 7.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Fie \(a,b,c\in {{\mathbb{R}}^{*}}\) distincte între ele şi sistemul \(\left( S \right)\left\{ \begin{align} & {{a}^{2}}x+ay-z={{a}^{3}} \\ & {{b}^{2}}x+by-z={{b}^{3}} \\ & {{c}^{2}}x+cy-z={{c}^{3}} \\ \end{align} \right.\)

(5p) a) Calculaţi determinantul matricei A ataşată sistemului (S):

(5p) b) Rezolvaţi sistemul (S);

(5p) c) Dacă\(\left( x,y,z \right)\)este soluţia sistemului aflaţi soluţiile ecuaţiei \({{t}^{3}}-x{{t}^{2}}-yt+z=0.\)

        2. Fie polinoamele \(f,g\in \mathbb{R}\left[ X \right],f={{\left( 2X+5 \right)}^{2012}}+4X+10\text{ i }g={{X}^{2}}+5X+6\).

(5p) a) Arătaţi că suma coeficienţilor polinomului f este un număr întreg divizibil cu 7;

(5p) b) Determinaţi restul împărţirii lui f la g;

(5p) c) Calculaţi suma \(S=\frac{1}{g\left( 0 \right)}+\frac{1}{g\left( 1 \right)}+\frac{1}{g\left( 2 \right)}+....+\frac{1}{g\left( 2013 \right)}\).

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

        1. Se consideră funcţia \(f:\left[ 0,1 \right]\to \mathbb{R},\text{ }f\left( x \right)={{e}^{2x}}+{{x}^{2}}-2.\)

(5p) a) Să se studieze monotonia funcţiei f ;

(5p) b) Să se demonstreze că funcţia f are o singură rădăcină în intervalul (0, 1);

(5p) c) Să se demonstreze prin inducţie matematică \(\text{ }{{f}^{\left( n \right)}}\left( x \right)={{2}^{n}}{{e}^{2x}},\text{ }\left( \forall  \right)n\in \mathbb{N},n\ge 3\).

        2. Fie funcţia \(f:\left[ 0,\infty  \right)\to \mathbb{R},f\left( x \right)={{\left( x+1 \right)}^{2}}\).

(5p) a) Calculaţi \(\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\int\limits_{0}^{x}{f\left( t \right)dt}}{{{x}^{3}}}\);

(5p) b) Dacă \(h:\left[ 0,\infty  \right)\to \mathbb{R},h\left( x \right)=\frac{x}{f\left( x \right)}\), determinaţi primitiva \(H:\left[ 0,\infty  \right)\to \mathbb{R}\) a funcţiei h astfel încât \(H\left( 0 \right)=-1\);

(5p) c) Calculaţi volumul corpului obţinut prin rotaţia, în jurul axei Ox, a graficului funcţiei  f  pentru \(x\in \left[ 0,1 \right]\).