Varianta 8

Prof. Badea Ion

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Calculaţi \(\left( 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{{{3}^{2}}}-\frac{1}{{{3}^{3}}}+....-\frac{1}{{{3}^{2011}}} \right):\left( 1-\frac{1}{{{3}^{2012}}} \right).\)

(5p) 2. Aflaţi numerele reale a şi b care au suma 1 şi produsul  –12.

(5p) 3. Fie \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f\left( x \right)=2x-1.\)Aflaţi numerele \(x\in {{\mathbb{N}}^{*}}\)astfel încât \(f\left( {{\log }_{2}}x \right)\le 3.\)

(5p) 4. După o ieftinire cu 20% şi apoi o scumpire cu 10% un produs costă 1760 lei. Care este preţul iniţial al produsului?

(5p) 5. Scrieţi ecuaţia mediatoarei segmentului (AB ) unde A(-1,1) şi B(3,3).

(5p) 6. Calculaţi suma \(S={{\sin }^{2}}{{0}^{0}}+{{\sin }^{2}}{{15}^{0}}+{{\sin }^{2}}{{30}^{0}}+{{\sin }^{2}}{{45}^{0}}+{{\sin }^{2}}{{60}^{0}}\)\(+{{\sin }^{2}}{{75}^{0}}+{{\sin }^{2}}{{90}^{0}}\).

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră sistemul de ecuaţii \(\left\{ \begin{align} & x-my+z=2m \\ & x-2y+z=-2 \\ & mx+{{m}^{2}}y-2z=2 \\ \end{align} \right.,\)\(\text{ unde m}\in \mathbb{R}\) şi matricea sistemului \(A=\left( \begin{matrix} 1 & -m & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ m & {{m}^{2}} & -2 \\ \end{matrix} \right)\).

(5p) a) Arătaţi că \(\det A=4-{{m}^{2}}\)

(5p) b) Determinaţi valorile lui m pentru care sistemul este compatibil  determinat

(5p) c) Rezolvaţi sistemul pentru m=0;

        2. Fie polinomul \({{f}_{a,b}}\in \mathbb{R}\left[ X \right],{{f}_{a,b}}=2{{a}^{2}}{{X}^{3}}-2ab{{X}^{2}}+{{b}^{2}}X-\left( 2a-1 \right)\)

(5p) a) Determinaţi numerele întregi a şi b pentru care  \({{f}_{a,b}}\vdots \left( X-1 \right)\) ;

(5p) b) Dacă \({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}\)sunt rădăcinile polinomului \({{f}_{1,1}}\), calculaţi \(\text{ }{{x}_{1}}^{\text{3}}\text{+}{{x}_{2}}^{\text{3}}+{{x}_{3}}^{3};\)

(5p) c) Rezolvaţi în \(\mathbb{R}\)ecuaţia \(2\cdot {{8}^{x}}-{{2}^{2x+1}}+{{2}^{x}}-1=0\).

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

        1. Se dă funcţia\(f:\left[ -2,2 \right]\to \mathbb{R},f\left( x \right)=\frac{{{\left( x\sqrt{3}-2 \right)}^{4}}}{4\sqrt{3}}\).

(5p) a) Să se studieze monotonia funcţiei f ;

(5p) b) Să se demonstreze că tangentele la graficul funcţiei f  în punctele \(A\left( \frac{\sqrt{3}}{3},f\left( \frac{\sqrt{3}}{3} \right) \right)\text{ }\)

           \(\text{i B}\left( \sqrt{\text{3}},f\left( \sqrt{3} \right) \right)\)sunt perpendiculare.

(5p) c) Să se calculeze \(\underset{x\to \sqrt{3}}{\mathop{\lim }}\,{{\left( {{f}^{'}}\left( x \right) \right)}^{\frac{1}{x-\sqrt{3}}}}\).

       2. Pentru orice număr natural nenul n se consideră funcţiile \({{f}_{n}}:\left[ -1,1 \right]\to \mathbb{R},\text{ }{{f}_{n}}\left( x \right)=\frac{{{\left( x-1 \right)}^{n}}}{x+2}\) şi  integralele \({{I}_{n}}=\int\limits_{-1}^{1}{{{f}_{n}}\left( x \right)}dx.\)

(5p) a) Să se calculeze \(\int\limits_{-1}^{1}{\left( x+2 \right){{f}_{1}}\left( x \right)}dx.\);

(5p) b) Să se calculeze\({{I}_{1}}\);

(5p) c) Să se arate că \({{I}_{n+1}}+3{{I}_{n}}=\frac{{{\left( -2 \right)}^{n+2}}}{n+1},\left( \forall  \right)n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\)