Varianta 14

Prof.  Brabeceanu Silvia

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Să se determine conjugatul numărului complex \(z=\frac{3-2i}{1+i}+\frac{2+3i}{2-i}\).

(5p) 2. Fie funcţia \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\)exprimată prin relaţia \(f\left( x \right)={{2}^{x}}+x\). Să se calculeze \(f\left( 1 \right)+f\left( 2 \right)+\cdots +f\left( 8 \right)\)

(5p) 3. Să se determine numărul real x astfel încât \({{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( 7+5x \right)>{{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)\).

(5p) 4. Fie mulţimea \(A=\left\{ 1,2,3,4,5,6,7 \right\}\). Să se calculeze probabilitatea ca alegând un element \(n\in A\) acesta să verifice inegalitatea \(n!\ge {{n}^{2}}\).

(5p) 5. Fie vectorii \(\overrightarrow{AB}=5\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j}\)şi \(\overrightarrow{BC}=-7\overrightarrow{i}+5\overrightarrow{j}\). Să se calculeze \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AC}\).

(5p) 6. Ştiind că \(\sin {{15}^{0}}-\cos {{15}^{0}}=a\) să se calculeze valoarea expresiei \(\sin {{75}^{0}}+\cos {{75}^{0}}-a\).

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. În mulţimea \({{M}_{3}}\left( \mathbb{R} \right)\)se consideră matricea \(A=\left( \begin{matrix}1 & -3 & 2 \\ 1 & -3 & 2  \\ 1 & -3 & 2  \\\end{matrix} \right)\) şi \(X\left( m \right)=mA+{{I}_{3}}\).

(5p) a) Calculaţi \({{A}^{2}}\).

(5p) b) Să se calculeze \(M=2\cdot A+{{2}^{2}}\cdot {{A}^{2}}+\cdots +{{2}^{2014}}\cdot {{A}^{2014}}\).

(5p) c) Să se arate că \(X\left( m \right)\cdot X\left( n \right)=X\left( m+n \right)\)şi să se verifice dacă \(X\left( m \right)\)este inversabilă.

2. Fie polinomul \(f={{X}^{3}}-a{{X}^{2}}+3X-1\in \mathbb{C}\left[ X \right]\)cu \({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}\) rădăcini şi a este număr real.

(5p) a) Calculaţi \(f\left( 1 \right)-f\left( -1 \right)\).

(5p) b) Determinaţi restul împărţirii polinomului  f  la \(x-1\), ştiind că restul împărţirii polinomului   f  la \(x+1\) este 3.

(5p) c) Determinaţi numerele reale a pentru care \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=10\).

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1.  Se consideră funcţia \(f:\left( 0,\infty  \right)\to \mathbb{R},\text{  }f\left( x \right)=\frac{x-1}{\sqrt{x}}\).

(5p) a) Să se determine asimptotele la graficul funcţiei.

(5p) b) Să se determine constantele reale a şi b astfel încât funcţia \(F\left( x \right)=\left( ax+b \right)\sqrt{x}\)să verifice condiţia \({F}''\left( x \right)=f\left( x \right),\text{  }x\in \left( 0,\infty  \right)\).

(5p) c) Să se determine \(\text{ }x\in \left( 0,\infty  \right)\)astfel încât \({{x}^{2}}\cdot {f}''\left( x \right)+x\cdot {f}'\left( x \right)\text{=}\sqrt{x}-1\).

2.  Se consideră şirul \({{\left( {{I}_{n}} \right)}_{n\ge 1}}\),definit prin \({{I}_{n}}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{x}^{n}}}{1+x}dx},\text{ }\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\).

(5p) a) Calculaţi \({{I}_{1}}\)şi \({{I}_{2}}\).

(5p) b) Arătaţi  că \({{I}_{n+1}}+{{I}_{n}}=\frac{1}{n+1},\text{  }\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\).

(5p) c) Folosind eventual metoda de integrare prin părţi , arătaţi că  \(n{{I}_{n}}=\frac{1}{2}-\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{x}^{n}}}{{{\left( 1+x \right)}^{2}}}dx,\text{ }\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}}\). 

CLICK PE BAREM