.png){kind=icon}
Varianta 17
Prof. Ciocănaru Viorica
- Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
- Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
- La toate subiectele se cer rezolvări complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. Determinaţi numărul real x pentru care numerele 3, x + 1 şi 12 sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice cu termini pozitivi, apoi scrieţi suma termenilor.
(5p) 2. Determinaţi numerele reale nenule a și b astfel încât funcţia f : R\(\to \)R f (x) = a\({{x}^{2}}+bx+1\) să admită vârful V(1, 2), punct de maxim.
(5p) 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia \({{2}^{\sqrt{{{x}^{2}}-4}}}={{2}^{x-2}}\).
(5p) 4. Determinaţi numerele naturale pare \(\overline{ab}\) care se pot forma, ştiind că a, b\(\in \){4, 5, 6, 7}.
(5p) 5. Se consideră dreapta d : y = \(\frac{-4x+1}{7}\) şi punctul M (-2, -1). Determinaţi distanţa de la punctul M la dreapta d.
(5p) 6. Transformaţi în produs E(a) = sin a – sin 5a și calculaţi E(\(\frac{\pi }{6}\)) .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea A\(\in \)M3 (R) A = \(\begin{pmatrix}p & p & p \\ p & p & p \\ p & p & p \\ \end{pmatrix}\) , p\(\in \)R .
(5p) a) Calculaţi A2 .
(5p) b) Aflaţi valoarea det (A – I3) det (A + I3).
(5p) c) Arătaţi că An = (3p)n-1 \(\cdot \)A, \(\forall \)n\(\in \)N*,\(\forall \)p\(\in \)R şi calculaţi A2014.
2. Se consideră polinomul f\(\in \)R[X], f = X3 - 2X2 - X + m unde m este număr real și ecuaţia x4- 5x3+ 5x2 + 5x – 6 = 0 cu rădăcinile x1, x2, x3, x4.
(5p) a) Determinaţi m, număr real, pentru ca -\(\sqrt{2}\)să fie rădăcină pentru f.
(5p) b) Determinaţi rădăcinile ecuaţiei.
(5p) c) Calculaţi f (x1) + f (x2) + f (x3) + f(x4) unde x1, x2, x3, x4 sunt rădăcinile ecuaţiei.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia f: D \(\to \)R, f (x) = \(\ln \frac{x+3}{x-3}\).
(5p) a) Determinaţi D domeniul de definiţie al funcţiei f şi cercetaţi dacă funcţia are asimptote verticale.
(5p) b) Calculaţi f ’(x), unde x\(\in \)D.
(5p)c) Calculaţi \(\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,xf(x)\).
2. Se consideră funcţiile f: R\(\to \)R, f(x) = cos x şi g: [0, \(\frac{\pi }{2}\))\(\to \)R, g(x) = \({{2}^{tgx}}\).
(5p) a) Calculaţi \(\int\limits_{{}}^{{}}{{{f}^{2}}(x)}dx\).
(5p) b) Calculaţi volumul corpului determinat de rotaţia în jurul axei Ox a graficului funcţiei g(x)/ f(x) pentru x\(\in \)[0, \(\frac{\pi }{4}\)].
(5p) c) Dacă In =\(\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}}{{{f}^{n}}(x)}dx\), n\(\in \)N*, stabiliţi o relaţie de recurenţă pentru In.
