Varianta 19

Prof: Ciocănaru Viorica

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Calculaţi suma tuturor numerelor naturale de două cifre care se divid cu 7.

(5p) 2. Determinaţi m\(\in \)R pentru ca graficul funcţiei  f: R \(\to \)R,  f (x) = (m - 1) x² + 3(m +1) x + 2(m+1),

să intersecteze axa Ox în două puncte distincte.

(5p) 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia iraţională \(\sqrt[3]{2x+1}\)= x +1.

(5p) 4. Pentru ce valori ale lui n\(\in \)N are loc inegalitatea \(C_{n}^{3}\) > \(C_{n}^{6}\)?

(5p) 5. Se consideră vectorii \(\overrightarrow{v}=2\overrightarrow{i}+(a+2)\overrightarrow{j}\)    şi \(\overrightarrow{u}=3\overrightarrow{i}+(a-3)\overrightarrow{j}\), cu a\(\in \)R. Determinaţi a astfel încât vectorii \(\underset{{}}{\overset{\to }{\mathop{v}}}\,\) şi \(\underset{{}}{\overset{\to }{\mathop{u}}}\,\)să fie coliniari.

(5p) 6. Calculaţi lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABC ştiind că C = \(\frac{\pi }{3}\)şi AB = 8.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricele A_p\(\in \)M₃ (R) A_p = \(\left( \begin{matrix} 1 & p+1 & p-2 \\ 3p & p+1 & -2  \\ 2p+3 & 1 & -3  \\ \end{matrix} \right)\) ,  p\(\in \)R .

(5p) a) Cercetaţi dacă A₀ este inversabilă, scrieţi A^t ₁, calculaţi Tr (A₀ +A^t₁).

(5p) b) Determinaţi A^-1 pentru p = 0.

(5p) c) Calculaţi \(\sum\limits_{p=1}^{n}{{{A}_{p}}}\), n\(\in \)N.

2. Se consideră polinoamele f, g\(\in \)R[X], f = X⁴ + aX³ + bX² + 3X + 1,  a,b \(\in \)R,  g = X² + X +1.

(5p) a) Determinaţi a,b \(\in \)R dacă f(1) = 7 şi f(-1) = 5.

(5p) b) Determinaţi a,b \(\in \)R dacă polinomul g  divide polinomul  f.

(5p) c) Aflaţi coeficienţii a şi b şi celelalte rădăcini ale polinomului f dacă acesta admite rădăcina 1+\(\sqrt{2}\)şi conjugata ei.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcţiile f: R – {1, 2}\(\to \)R,  f(x) =\(\frac{{{x}^{2}}-2x+3}{{{x}^{2}}-3x+2}\) şi g: D\(\to \)R, g(x) = arcsin f(x).

(5p) a) Determinaţi ecuaţia tangentei în punctul M (0, \(\frac{3}{2}\)) la graficul funcţiei f.

(5p) b) Determinaţi D domeniul de definiţie al funcţiei g şi calculaţi g(-1).

(5p) c) Calculaţi \(\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{(f(x))}^{3x-g(-1)}}\). 

2. Se consideră funcţia f: (0, \(+\infty \))\(\to \)R,  f(x) = ln x.

(5p) a) Calculaţi \(\int\limits_{1}^{e}{xf(x)}dx\).

(5p) b) Calculaţi volumul corpului determinat de rotaţia în jurul axei Ox a graficului funcţiei

g: [1, e²] \(\to \)R, g(x) = f(x).

(5p) c) Dacă I_n =\({{\int_{1}^{x}{(\ln t)}}^{n}}dt\), t > 0, x > 1, n\(\in \)N*, stabiliţi o relaţie de recurenţă pentru I_n.