Varianta 20

Prof: Ciocănaru Viorica

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Determinaţi modulul numărului complex z$\in$C, z = $\frac{3+2i}{1-3i}$.

(5p) 2. Se consideră funcţia  f: R $\to$R,  f (x) = 2x -1. Calculaţi f(f(1)) + f(f(2))+ …. f(f(12)).

(5p) 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia $\sqrt{x}+\sqrt{3-x}$=2.

(5p) 4.  Determinaţi probabilitatea ca alegând un număr din mulţimea numerelor naturale impare de două cifre , acesta să fie divizibil cu 3.

(5p) 5. Se consideră dreapta d : 2x − 3y +1= 0 şi punctul A(2,  1). Determinaţi ecuaţia dreptei care trece prin punctul A şi este paralelă cu dreapta d .

(5p) 6. Dacă a$\in$($\frac{\pi }{2},\pi$) şi sin a =$\frac{3}{5}$, calculaţi ctg$\frac{a}{2}$.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră sistemul de ecuaţii $\left\{ \begin{align} & x+my+2z=1 \\ & x+(2m-1)y+3z=1 \\ & x+my+(m-3)z=2m-1 \\ \end{align} \right.$ , m$\in$R.  

(5p) a) Calculaţi d determinantul matricei sistemului şi precizaţi când este nenul.

(5p) b) Cercetaţi compatibilitatea sistemului pentru m$\in${2; 5}.

(5p) c) Rezolvaţi sistemul pentru m = 1.

2. Se consideră mulţimea M = {A_x$\in$M₂ (R)| A_x = $\begin{pmatrix} 1 & 0  \\ x & 1  \\ \end{pmatrix}$   , x$\in$R}.

(5p) a) Arătaţi că _“$\cdot$” este lege de compoziţie pe M.

(5p) b) Arătaţi că _“$\cdot$” este asociativă şi aflaţi n$\in$N ştiind că A_1$\cdot$A_4$\cdot$A₉ … $\cdot$A$_{{{n}^{2}}}$= A₅₅.

(5p) c) Determinaţi elementele simetrizabile ale lui M. 

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcţia  f: D $\to$R,  f (x) = $\ln \frac{x+1}{x-1}$.

(5p) a) Determinaţi D domeniul de definiţie al funcţiei f şi asimpotele sale.

(5p) b) Fie S_n = f(2) + f(3) + ... + f(n). Calculaţi $\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{S}_{n}}$.

(5p) c) Calculaţi $\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,xf(x)$.

2. Se consideră funcţiile f, g, h: R$\to$R,  f(x) = sin x,  g(x) = $\int\limits_{0}^{x}{f({{t}^{2}})}dt$ şi h(x) =${{e}^{f(x)}}\cos x$.

(5p) a) Calculaţi $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{g(x)}{{{x}^{3}}}$.

(5p) b) Determinaţi primitivele funcţiei h.

(5p) c) Dacă I_n =$\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{{{x}^{n}}f(x)}dx$, n$\in$N*, calculaţi I₂ şi stabiliţi o relaţie de recurenţă pentru I_n.