Varianta 22

Prof. Cristea Maria

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Calculaţi \(\frac{1}{{{2}^{1005}}}{{(1+i)}^{2010}}\)

(5p) 2. Să se determine   astfel încât tripletul:\(\sqrt{x-3},1+\sqrt{x-2},2+\sqrt{3x-5}\)  să constituie termenii consecutivi ai unei progresii aritmetice.

(5p) 3. Rezolvaţi ecuaţia \({{4}^{x}}-{{2}^{x}}-12=0\)  .

 5p) 4. Se consideră mulţimea \(A=\{1,2,3,4,5,6,7\}\) . Să se calculeze probabilitatea ca alegând la întamplare o submulţime dintre  submulţimile nevide ale mulţimii  aceasta să aibă toate elementele pare.

(5p) 5.Să se determine numărul real  știind că vectorii\(\overrightarrow{u}=(m-3)\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{j}\,i\,\overrightarrow{u}=8\overrightarrow{i}-(15-m)\overrightarrow{j}\)  sunt perpendiculari.

(5p) 6. Determinaţi lungimea razei cercului circumscris triunghiului cu laturile de lungimi 6,8 , respectiv 10.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

(5p) 1. Fie mulţimea\(G=(1,2)\cup (2;+\infty )\)   şi legea de compoziţie “*” pe \(G\) definită prin \(x*y=1+{{(x-1)}^{\ln \sqrt{y-1}}}\)  , oricare ar fi \(x,y\in G.\)

(5p) a) Să se arate că legea de compoziţie “*” este bine definită.

(5p) b) Să se arate că legea de compoziţie “*” este comutativă.

(5p) c) Să se rezolve ecuaţia \(x*{{e}_{1}}-1=2\) , unde \({{e}_{1}}\)  este elementul neutru a legii de compoziţie “*”.

(5p) 2. Se consideră numărul \(a=\frac{\sqrt{10}-i\sqrt{2}}{2}\) şi polinomul \(f\in \mathbb{Q},f={{x}^{4}}-4{{x}^{2}}+9\).   

(5p) a) Să se arate că \(f(a)=0.\)

(5p) b) Să se arate că polinomul \(f\)  reductibil în \(\mathbb{R}[x]\)  şi în \(\mathbb{C}[x]\) şi ireductibil în \(\mathbb{Q}[x]\).

(5p) c) Să se calculeze \(a_{1}^{6}+a_{2}^{6}+a_{3}^{6}+a_{4}^{6}\) , unde \(a_{1}^{6},a_{2}^{6},a_{3}^{6},a_{4}^{6}\)  sunt rădăcinile polinomului.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)             

1. Se consideră funcţiile \(f:(-1;+\infty )\to \mathbb{R},\,f(x)=\ln (1+x)-x\,\) şi \(g:(-1,+\infty )\to \mathbb{R},\,g(x)=\ln (1+x)-x+\frac{{{x}^{2}}}{2}.\)

(5p) a) Să se verifice că \(f'(x)=\frac{-x}{1+x}\,i\,g'(x)=\frac{{{x}^{2}}}{1+x},\,\forall x>-1\)  

(5p) b) Să se arate că\(f(x)<0<g(x),\,\forall x>0\)   

(5p) c) Să se calculeze\(\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,(\ln (1+\frac{1}{{{n}^{2}}})+\ln (1+\frac{3}{{{n}^{2}}})+\ln (1+\frac{2n-1}{{{n}^{2}}}))\)  , ştiind că \(1+3+5+...+{{(2n-1)}^{2}}={{n}^{2}}\) şi \(\,{{1}^{2}}+{{3}^{2}}+...+{{(2n-1)}^{2}}=\frac{n(4{{n}^{2}}-1)}{3},\,\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}.\)

2. Se consideră funcţiile \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\,f(x)=1+x+{{x}^{2}}+...+{{x}^{2002}}\,\) şi \(F:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\,F(x)=\int\limits_{0}^{1}{f(t)dt,\,\forall x\in \mathbb{R}}f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\)
   

(5p) a) Să se calculeze \(f(1)\)

(5p) b) Să se arate că \(F'(x)=f(x)\) , \(\forall x\in \mathbb{R}\)

(5p) c)  Ştiind că funcţia \(F(x)\)  este bijectivă, să se calculeze \(\int\limits_{0}^{a}{g(x)dx}\), unde \(g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\)  reprezintă  inversa funcţiei \(F(x)\) şi \(a=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2013}\) .