Varianta 25

Prof:  Dogaru Ion

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

 SUBIECTUL  I  ( 30 de puncte)

5p  1. Rezolvaţi ,în mulţimea numerelor reale,ecuaţia \(\frac{2x-1}{x+3}-\frac{x-3}{2x-1}=\frac{26}{3}\).

5p  2. Sǎ se determine a > 0 ştiind cǎ termenul din mijloc al dezvoltǎrii \({{\left( \sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt[3]{a}} \right)}^{12}}\)este egal cu  2012.

5p  3. Sǎ se determine ecuaţia medianei duse din vârful A al triunghiului ABC  ştiind cǎ A(3,2), B(-2,3) şi C(6,-5).

5p  4. Sǎ se calculeze  \(tg{{1}^{0}}tg{{2}^{0}}\cdot \cdot \cdot tg{{89}^{0}}\).

5p  5. Fie mulţimea \(A=\{\pm 1,\pm 2,\pm 3,0\}\)şi o funcţie bijectivǎ f : A → A. Sǎ se calculeze  suma f(-3)+f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3).

5p  6. Rezolvaţi ,în mulţimea numerelor reale,ecuaţia  \({{\lg }^{2}}x-7\lg x=30\).

SUBIECTUL al II-lea ( 30 de puncte)

      1. Pentru  \(x\in \)R, se considerǎ matricea \(A=\left( \begin{matrix} 4 & -7 & 0 \\ 2 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & x \\ \end{matrix} \right)\)

5p  a) Rezolvaţi ecuaţia  det A = 2012.

5p  b) Pentru \(x=\sqrt{2}\) calculaţi \({{A}^{n}},n\in \)N^*.

5p  c) Determinaţi numerele reale t pentru care  det(t²A) = t²detA, oricare ar fi \(x\in \)R.

     2. Se considerǎ a,b \(\in \)R şi polinomul f = 2X⁴ + 9X² + aX + b care are rǎdǎcinile complexe x₁, x₂, x₃, x₄

5p  a) Sǎ se determine a şi b ştiind cǎ f are rǎdǎcina i .

5p  b) Sǎ se calculeze \({{({{x}_{1}}-\frac{3}{2})}^{2}}+{{({{x}_{2}}-\frac{3}{2})}^{2}}+{{({{x}_{3}}-\frac{3}{2})}^{2}}+{{({{x}_{4}}-\frac{3}{2})}^{2}}\).

5p  c) Sǎ se determine a şi b ştiind cǎ f are toate rǎdǎcinile reale.

SUBIECTUL al III-lea ( 30 de puncte)

    1. Se considerǎ funcţia f : R → R, \(\sqrt[3]{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-4},\forall x\in \mathbb{R}\).

5p  a)  Sǎ se determine asimptotele graficului funcţiei  f .

5p  b)  Sǎ se arate cǎ \({{f}^{2}}(x)f'(x)={{x}^{2}}+2x,\forall x\in \mathbb{R}\backslash \{-2,1\}\)

5p  c)  Sǎ se determine derivatele laterale ale graficului funcţiei f  în punctual  x₀ = - 2

    2. Se considerǎ funcţia f : R → R, f(x) = x³ – 3x + 2.

5p  a)  Sǎ se calculeze \(\int_{2}^{3}{\frac{f(x)}{x-1}}dx\).

5p  b) Sǎ se calculeze \(\int_{-1}^{0}{\frac{{{x}^{2}}-13}{f(x)}}dx\) .

5p  c) Sǎ se determine valorile  f_min  ,  respectiv  f_max .

 BAREM DE EVALUARE