Varianta 26

Prof:  Dogaru Ion

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

 SUBIECTUL  I  ( 30 de puncte)

5p  1. Calculaţi \({{\left( 1+i \right)}^{2012}}-{{(1-i)}^{2012}}\).

5p  2. Rezolvaţi, în mulţimea numerelor reale, ecuaţia \(\sqrt{11x+4}=x+2\).

5p  3. În mulţimea [0,2π] rezolvaţi ecuaţia \({{\sin }^{2}}x-{{\cos }^{2}}x=\cos x\).

5p  4. Se considerǎ mulţimile A = {1,2,3,4} şi B = {±1,±2,±3}. Sǎ se determine numǎrul funcţiilor strict crescǎtoare  f  : A → B.

5p  5. În sistemul cartezian de coordonate xOy se considerǎ punctele A(3,-2), B(-5,4). Sǎ se determine ecuaţia mediatoarei segmentului [AB].

5p  6. Fie \({{\left( {{a}_{n}} \right)}_{n\ge 1}}\)o progresie aritmeticǎ. Știind cǎ  a₆ + a₁₆ = 2012, calculaţi  a₃ + a₁₉ .

SUBIECTUL  II ( 30 de puncte)

1. Pentru \(m\in \) R se considerǎ matricea \(M = \left( \begin{matrix} m & 2 & 1 \\ 2m-1 & 3 & 1 \\ m & m-3 & 1 \\ \end{matrix} \right)\) şi punctele A(m,2),  B(2m-1,3), C(m,m-3).

5p  a) Determinaţi \(m\in \) R pentru care rang M = 2.

5p  b) Determinaţi \(m\in \) R pentru care punctele A,B,C sunt necoliniare.

5p  c) Pentru \(m\in \)[1,5] determinaţi valoarea maximǎ a ariei triunghiului ABC.

2. Se considerǎ: mulţimea G = (-1,1), legea de compoziţie datǎ prin \(x*y=\frac{x+y}{1+xy},\forall x,y\in \)G şi funcţia f : G → R ,\(f(x)=\frac{1-x}{1+x}\).

5p  a) Arǎtaţi cǎ  G este parte stabilǎ faţǎ de legea de compoziţie \(*\).

5p  b) Arǎtaţi cǎ \(\forall x,y\in \)G, \(f(x*y)=f(x)\cdot f(y)\).

5p  c) Știind cǎ legea de compoziţie \(*\) este asociativǎ, sǎ se calculeze \(\frac{1}{2}*\frac{1}{3}*\cdot \cdot \cdot *\frac{1}{9}\).

SUBIECTUL  III ( 30 de puncte)

1. Se considerǎ funcţia f : R→R, f(x) = x³- 2x + 5arctg x.

5p  a) Arǎtaţi cǎ funcţia f este strict crescǎtoare pe R.

5p  b) Arǎtaţi cǎ funcţia f este bijectivǎ.

5p  c) Determinaţi \(m\in \) R pentru care \(\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{{{x}^{m}}}\) existǎ, este finitǎ şi nenulǎ.

2. Se considerǎ şirul (I_n)_n>0 dat de : I_n = \(\int_{0}^{1}{{{x}^{n}}}{{e}^{x}}dx,\forall n\in \)N^*.

5p  a) Sǎ se calculeze I₂ .

5p  b) Sǎ se demonstreze cǎ şirul (I_n)_n>0  este convergent.

5p  c) Sǎ se calculeze \(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,n{{I}_{n}}\)

 BAREM DE EVALUARE