Varianta 28
Prof. Gaga Loghin
- Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
- Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
- La toate subiectele se cer rezolvări complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. Fie ε=−12+√32i. Calculați ε3
(5p) 2. Fie funcția f:R→R,f(x)=−x2+4(3m+1)x+5,m∈R. Să se determine cel mai mare m astfel încât funcția să aibă un maxim egal cu 6.
(5p) 3. Rezolvați, în R, ecuația √3x2−4x−15=x−2
(5p) 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A={3√n|n∈N,n<100}, acesta să fie rațional.
(5p) 5. Se consideră punctele A(5,6),B(−1,−2),C(6,5). Determinați coordonatele vectorului →AB+→BC
(5p) 6. Calculați produsul P=cos10⋅cos20⋅cos30⋅…⋅cos1790.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
- Fie matricea A=(111123321). Pentru orice x∈C se definește matricea V(x)=A+xI3 și funcția polinomială f:C→C,f(x)=detV(x).
(5p) a) Determinați rangul matricei A;
(5p) b) Rezolvați, în R, ecuația f(x)=1
(5p) c) Există o matrice B=(xyz)∈M3,1(C), cu proprietatea AB=(100)? Justificați.
- În Z, se definesc legile de compoziție x∗y=x+y−3 și x∘y=(x−3)(y−3)+3
(5p) a) În Z, să se rezolve ecuația x∗x=x∘x.
(5p) b) Să se determine a∈Z astfel încât relația x∘a=3 să aibă loc, oricare ar fi x, întreg.
(5p) c) Rezolvați sistemul I1=
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
- Fie funcția f:R∖{−1}→R,f(x)=x2+x+1x+1
(5p) a) Să se calculeze f′(x),x∈R∖{−1}
(5p) b) Să se calculeze limx→1f(x)−f(1)x−1
(5p) c) Să se studieze concavitatea funcției f(x), pe intervalul (−1,+∞)
- Se consideră In=e2∫exlnnxdx,n∈N
(5p) a) Să se calculeze I1
(5p) b) Să se arate că In≤In+1,∀x∈[e,e2],n∈N
(5p) c) Să se calculeze o formulă de recurență pentru integrala In
BAREM DE EVALUARE