FaceBook  Twitter  

Varianta 28

Prof. Gaga Loghin

 

  • Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
  • Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
  • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

 

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Fie ε=12+32i. Calculați ε3

(5p) 2. Fie funcția f:RR,f(x)=x2+4(3m+1)x+5,mR. Să se determine cel mai mare m astfel încât funcția să aibă un maxim egal cu 6.

(5p) 3. Rezolvați, în R, ecuația 3x24x15=x2

(5p) 4.  Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A={3n|nN,n<100}, acesta să fie rațional.

(5p) 5. Se consideră punctele A(5,6),B(1,2),C(6,5). Determinați coordonatele vectorului AB+BC

(5p) 6. Calculați produsul P=cos10cos20cos30cos1790.

 

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

  1. Fie matricea A=(111123321). Pentru orice xC se definește matricea V(x)=A+xI3 și funcția polinomială f:CC,f(x)=detV(x).

(5p) a) Determinați rangul matricei A;

(5p) b) Rezolvați, în R, ecuația f(x)=1

(5p) c) Există o matrice B=(xyz)M3,1(C), cu proprietatea AB=(100)? Justificați.

  1. În Z, se definesc legile de compoziție xy=x+y3 și xy=(x3)(y3)+3

(5p) a) În Z, să se rezolve ecuația xx=xx.

(5p) b) Să se determine aZ astfel încât relația xa=3 să aibă loc, oricare ar fi x,  întreg.

(5p) c) Rezolvați sistemul I1=

 

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

  1. Fie funcția f:R{1}R,f(x)=x2+x+1x+1

(5p) a) Să se calculeze f(x),xR{1}

(5p) b) Să se calculeze limx1f(x)f(1)x1

(5p) c) Să se studieze concavitatea funcției f(x), pe intervalul (1,+)

  1. Se consideră In=e2exlnnxdx,nN

(5p) a) Să se calculeze I1

(5p) b) Să se arate că InIn+1,x[e,e2],nN

(5p) c) Să se calculeze o formulă de recurență pentru integrala In

 

BAREM DE EVALUARE