Varianta 28

Prof. Gaga Loghin

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Fie \(\varepsilon =-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\). Calculați \({{\varepsilon }^{3}}\)

(5p) 2. Fie funcția \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\,f\left( x \right)=-{{x}^{2}}+4\left( 3m+1 \right)x+5,\,m\in \mathbb{R}\). Să se determine cel mai mare m astfel încât funcția să aibă un maxim egal cu 6.

(5p) 3. Rezolvați, în \(\mathbb{R}\), ecuația \(\sqrt{3{{x}^{2}}-4x-15}=x-2\)

(5p) 4.  Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea \(A=\left\{ \left. \sqrt[3]{n} \right|\,n\in \mathbb{N},\,n<100 \right\}\), acesta să fie rațional.

(5p) 5. Se consideră punctele \(A\left( 5,6 \right),\,B\left( -1,\,-2 \right),\,C\left( 6,5 \right)\). Determinați coordonatele vectorului \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\)

(5p) 6. Calculați produsul \(P=\cos {{1}^{0}}\cdot \cos {{2}^{0}}\cdot \cos {{3}^{0}}\cdot \ldots \cdot \cos {{179}^{0}}\).

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Fie matricea \(A=\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \\ \end{matrix} \right)\). Pentru orice \(x\in \mathbb{C}\) se definește matricea \(V\left( x \right)=A+x{{I}_{3}}\) și funcția polinomială \(f:\mathbb{C}\to \mathbb{C},\,f\left( x \right)=\det V\left( x \right)\).

(5p) a) Determinați rangul matricei \(A\);

(5p) b) Rezolvați, în \(\mathbb{R}\), ecuația \(f\left( x \right)=1\)

(5p) c) Există o matrice \(B=\left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \\ \end{matrix} \right)\in {{M}_{3,1}}\left( \mathbb{C} \right)\), cu proprietatea \(AB=\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{matrix} \right)\)? Justificați.

2. În \(\mathbb{Z}\), se definesc legile de compoziție \(x*y=x+y-3\) și \(x\circ y=\left( x-3 \right)\left( y-3 \right)+3\)

(5p) a) În \(\mathbb{Z}\), să se rezolve ecuația \(x*x=x\circ x\).

(5p) b) Să se determine \(a\in \mathbb{Z}\) astfel încât relația \(x\circ a=3\) să aibă loc, oricare ar fi x,  întreg.

(5p) c) Rezolvați sistemul \({{I}_{1}}=\)

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Fie funcția \(f:\mathbb{R}\backslash \left\{ -1 \right\}\to \mathbb{R},\,f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}+x+1}{x+1}\)

(5p) a) Să se calculeze \({f}'\left( x \right),\,x\in \mathbb{R}\backslash \left\{ -1 \right\}\)

(5p) b) Să se calculeze \(\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( 1 \right)}{x-1}\)

(5p) c) Să se studieze concavitatea funcției \(f\left( x \right)\), pe intervalul \(\left( -1,\,+\infty  \right)\)

2. Se consideră \({{I}_{n}}=\int\limits_{e}^{{{e}^{2}}}{x{{\ln }^{n}}x\,dx},\,\,n\in \mathbb{N}\)

(5p) a) Să se calculeze \({{I}_{1}}\)

(5p) b) Să se arate că \({{I}_{n}}\le {{I}_{n+1}},\,\forall x\in \left[ e,\,{{e}^{2}} \right],\,n\in \mathbb{N}\)

(5p) c) Să se calculeze o formulă de recurență pentru integrala \({{I}_{n}}\)