Varianta 29

Prof.  Gaga Loghin

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Să se arate că numărul \({{\left( 1-i\sqrt{3} \right)}^{3}}\in \mathbb{Z}\)

(5p) 2. Să se determine \(a\in \mathbb{R}\) astfel încât ecuația \(a{{x}^{2}}+\left( 3a-1 \right)x+a+3=0\) are soluții reale.

(5p) 3. Să se arate că ecuația \({{\log }_{2}}\left( {{\log }_{3}}\left( x-16 \right) \right)=1\) are soluție un număr întreg, pătrat perfect.

(5p) 4. După o reducere de 20% și o scumpire cu 15%, prețul unui produs devine 575 lei. Aflați prețul inițial.

(5p) 5. În reperul cartezian xOy, se consideră punctele \(A\left( 1,2 \right),\,B\left( 5,6 \right),\,C\left( -1,1 \right)\). Determinați ecuația înălțimii din C, în acest triunghi.

(5p) 6. Determinați valoarea maximă a expresiei \(E\left( x \right)=\sin \frac{x}{2}\cdot \cos \frac{x}{2}\)

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră sistemul \(\left\{ \begin{align} & x+y+z=a \\ & x+ay+z=1 \\ & x+y+az=1 \\ \end{align} \right.\)

(5p) a) Să se scrie matricea A, a sistemului și să se calculeze \(\det A\).

(5p) b) Să se calculeze rangul matricei A, după valorile parametrului real, a. Poate fi rangA=2?

(5p) c) Pentru \(a\ne 1\), să se rezolve sistemul.

2. Se consideră inelul \(\left( {{Z}_{5}},\,+,\,\cdot \right)\), unde \({{Z}_{5}}=\left\{ \hat{0},\,\hat{1},\,\hat{2},\,\hat{3},\,\hat{4} \right\}\)

(5p) a) Să se rezolve ecuația \(\hat{2}x+\hat{4}=\hat{3}\), în \({{Z}_{5}}\).

(5p) b) Să se calculeze, în \({{Z}_{5}}\), determinantul \(\left| \begin{matrix} {\hat{1}} & 3 & {\hat{4}} \\ {\hat{2}} & {\hat{2}} & {\hat{1}} \\ {\hat{3}} & {\hat{1}} & {\hat{3}} \\ \end{matrix} \right|\)

(5p) c) Să se rezolve, în \(\left( {{\mathbb{Z}}_{5}},\,\cdot  \right)\), sistemul \(\left\{ \begin{align} & \hat{3}x+y=\hat{4} \\ & x+\hat{2}y=\hat{3} \\ \end{align} \right.\)

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\to \mathbb{R},\,f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}+2x}{x-2}\)

(5p) a) Pentru \(x\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\), să se calculeze \({f}'\left( x \right)\)

(5p) b) Să se determine ecuația asimptotei către \(-\infty \) la graficul funcției f

(5p) c) Să se determine coodonatele punctelor de extrem ale graficului funcției f și punctele de inflexiune, dacă există.

2. 2. Se consideră șirul \({{\left( {{I}_{n}} \right)}_{n\ge 1}}\), \({{I}_{n}}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{x}^{n}}}{{{x}^{4}}+1}dx}\)

(5p) a) Calculați \(\int{\frac{{{x}^{n}}}{{{x}^{4}}+1}dx}\), pentru n=3

(5p) b) Calculați \({{I}_{1}}\) și \({{I}_{3}}\).

(5p) c) Demonstrați că \({{I}_{2}}\in \left( \frac{\ln 2}{4},\,\frac{\pi }{8} \right)\)