FaceBook  Twitter  

Varianta 29

Prof.  Gaga Loghin

 

  • Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
  • Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
  • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

 

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Să se arate că numărul (1i3)3Z

(5p) 2. Să se determine aR astfel încât ecuația ax2+(3a1)x+a+3=0 are soluții reale.

(5p) 3. Să se arate că ecuația log2(log3(x16))=1 are soluție un număr întreg, pătrat perfect.

(5p) 4. După o reducere de 20% și o scumpire cu 15%, prețul unui produs devine 575 lei. Aflați prețul inițial.

(5p) 5. În reperul cartezian xOy, se consideră punctele A(1,2),B(5,6),C(1,1). Determinați ecuația înălțimii din C, în acest triunghi.

(5p) 6. Determinați valoarea maximă a expresiei E(x)=sinx2cosx2

 

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

  1. Se consideră sistemul {x+y+z=ax+ay+z=1x+y+az=1

(5p) a) Să se scrie matricea A, a sistemului și să se calculeze detA.

(5p) b) Să se calculeze rangul matricei A, după valorile parametrului real, a. Poate fi rangA=2?

(5p) c) Pentru a1, să se rezolve sistemul.

  1. Se consideră inelul (Z5,+,), unde Z5={ˆ0,ˆ1,ˆ2,ˆ3,ˆ4}

(5p) a) Să se rezolve ecuația ˆ2x+ˆ4=ˆ3, în Z5.

(5p) b) Să se calculeze, în Z5, determinantul |ˆ13ˆ4ˆ2ˆ2ˆ1ˆ3ˆ1ˆ3|

(5p) c) Să se rezolve, în (Z5,), sistemul {ˆ3x+y=ˆ4x+ˆ2y=ˆ3

 

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

  1. Se consideră funcția f:R{1}R,f(x)=x2+2xx2

(5p) a) Pentru xR{2}, să se calculeze f(x)

(5p) b) Să se determine ecuația asimptotei către la graficul funcției f

(5p) c) Să se determine coodonatele punctelor de extrem ale graficului funcției f și punctele de inflexiune, dacă există.

  1. 2. Se consideră șirul (In)n1, In=10xnx4+1dx

(5p) a) Calculați xnx4+1dx, pentru n=3

(5p) b) Calculați I1 și I3.

(5p) c) Demonstrați că I2(ln24,π8)

 

BAREM DE EVALUARE