Varianta 29
Prof. Gaga Loghin
- Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
- Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
- La toate subiectele se cer rezolvări complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. Să se arate că numărul (1−i√3)3∈Z
(5p) 2. Să se determine a∈R astfel încât ecuația ax2+(3a−1)x+a+3=0 are soluții reale.
(5p) 3. Să se arate că ecuația log2(log3(x−16))=1 are soluție un număr întreg, pătrat perfect.
(5p) 4. După o reducere de 20% și o scumpire cu 15%, prețul unui produs devine 575 lei. Aflați prețul inițial.
(5p) 5. În reperul cartezian xOy, se consideră punctele A(1,2),B(5,6),C(−1,1). Determinați ecuația înălțimii din C, în acest triunghi.
(5p) 6. Determinați valoarea maximă a expresiei E(x)=sinx2⋅cosx2
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
- Se consideră sistemul {x+y+z=ax+ay+z=1x+y+az=1
(5p) a) Să se scrie matricea A, a sistemului și să se calculeze detA.
(5p) b) Să se calculeze rangul matricei A, după valorile parametrului real, a. Poate fi rangA=2?
(5p) c) Pentru a≠1, să se rezolve sistemul.
- Se consideră inelul (Z5,+,⋅), unde Z5={ˆ0,ˆ1,ˆ2,ˆ3,ˆ4}
(5p) a) Să se rezolve ecuația ˆ2x+ˆ4=ˆ3, în Z5.
(5p) b) Să se calculeze, în Z5, determinantul |ˆ13ˆ4ˆ2ˆ2ˆ1ˆ3ˆ1ˆ3|
(5p) c) Să se rezolve, în (Z5,⋅), sistemul {ˆ3x+y=ˆ4x+ˆ2y=ˆ3
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
- Se consideră funcția f:R∖{1}→R,f(x)=x2+2xx−2
(5p) a) Pentru x∈R∖{2}, să se calculeze f′(x)
(5p) b) Să se determine ecuația asimptotei către −∞ la graficul funcției f
(5p) c) Să se determine coodonatele punctelor de extrem ale graficului funcției f și punctele de inflexiune, dacă există.
- 2. Se consideră șirul (In)n≥1, In=1∫0xnx4+1dx
(5p) a) Calculați ∫xnx4+1dx, pentru n=3
(5p) b) Calculați I1 și I3.
(5p) c) Demonstrați că I2∈(ln24,π8)
BAREM DE EVALUARE