Varianta 30

Prof. Gaga Loghin

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Fie ecuația \({{x}^{2}}-mx-1=0\), \(m\in \mathbb{R}\), cu soluțiile \({{x}_{1}}\) și \({{x}_{2}}\). Să se determine parametrul real m, astfel încât \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}={{x}_{1}}+{{x}_{2}}+2\)

(5p) 2. Se consideră șirul\({{x}_{n}}=2n-1,\,n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\). Cât trebuie să fie valoarea lui n, astfel încât să existe relația \({{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}+\cdots +{{x}_{n}}={{2014}^{2}}\)

(5p) 3. Determinați soluțiile ecuației \(\sqrt{3}\cdot \sin x-\cos x=1,\,\,x\in \left[ 0,\,2\pi  \right]\)

(5p) 4. Să se determine TVA-ul adăugat unui produs, știind că prețul de vânzare (prețul cu TVA) este 372 lei, iar TVA-ul este 24% din prețul inițial al produsului.

(5p) 5. Să se determine \(a\in \mathbb{R}\) astfel încât vectorii \(\bar{u}=a\bar{i}+\left( a-1 \right)\bar{j}\) și \(\bar{v}=3\bar{i}-\left( 3a-1 \right)\bar{j}\) să fie perpendiculari.

(5p) 6. Să se calculeze suma \(S={{\sin }^{2}}{{1}^{0}}+{{\sin }^{2}}{{2}^{0}}+\cdots +{{\sin }^{2}}{{90}^{0}}\)

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricea \(A=\left( \begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ \end{matrix} \right)\in {{M}_{3}}\left( \mathbb{R} \right)\)\

(5p) a) Să se calculeze \({{A}^{3}}\)

(5p) b) Să se determine rangul matricei \(A+{{A}^{t}}+{{I}_{3}}\)

(5p) c) Să se determine inversa matricei \(A+{{I}_{3}}\)

2. Se consideră polinomul \(f={{X}^{4}}+a{{X}^{3}}+X+b;\,\,\).

(5p) a) Să se determine \(a,b\in \mathbb{R}\), astfel încât polinomul f să fie divizibil cu polinomul \(g\left( X \right)={{X}^{2}}-1\).

(5p) b) Să se determine polinomul f, știind că una dintre rădăcinile acestuia este \({{x}_{1}}=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\).

(5p) c) Pentru \(a=-4\), folosind polinomul f determinat la b), să se determine \(\frac{1}{x_{1}^{2}}+\frac{1}{x_{2}^{2}}+\frac{1}{x_{3}^{2}}+\frac{1}{x_{4}^{2}}\)

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția \(f:\left( 0,\,\infty \right)\to \mathbb{R},\,f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}-x+1}{x+1}\).

(5p) a) Să se studieze monotonia funcției f.

(5p) b) Să se arate că funcția f este convexă pe \(\left( 0,\,\,\infty  \right)\)

(5p) c) Să se arate că, pentru \(a,b\in \left( -1+\sqrt{3},\,\infty  \right),\,f\left( \sqrt{ab} \right)\le f\left( \frac{a+b}{2} \right)\le \frac{f\left( a \right)+f\left( b \right)}{2}\)

2. Se consideră șirul \({{\left( {{I}_{n}} \right)}_{n\ge 1}},\,\,{{I}_{n}}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{x}^{n}}}{1+{{x}^{3}}}}dx\)

(5p) a) Să se calculeze \({{I}_{2}}\)

(5p) b) Să se arate că șirul \({{\left( {{I}_{n}} \right)}_{n\ge 1}}\) este strict descrescător

(5p) c) Să se calculeze \(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{I}_{n}}\)