Varianta 32

Prof: Gaga Loghin.

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Să se determine primul termen al progresiei geometrice \({{b}_{1}},\,7,\,{{b}_{3}},\,28,\,\cdots \)

(5p) 2. Fie funcția \(f:\left( 0,\,\infty  \right)\to \mathbb{R},\,f\left( x \right)={{5}^{x}}+{{\log }_{5}}x\). Să se determine \(f\left( f\left( 1 \right) \right)\)

(5p) 3. Se consideră dezvoltarea binomială  \({{\left( 2012\sqrt[4]{x}+\frac{2012}{\sqrt{x}} \right)}^{9}},\,x>0\). Să se dedetermine termenul liber al dezvoltării.

(5p) 4. Se consideră mulţimea M a tuturor funcţiilor definite pe A ={2010, 2011, 2012}cu valori în B={1, 2, 3}. Să se calculeze probabilitatea ca, alegând o funcţie din mulţimea M, aceasta să fie injectivă .

(5p) 5. Se consideră punctele A(-2,3), B(3,m), C(2,4)şi D(n,5). Să se determine m,n\(\in \) R astfel încât patrulaterul ABCD să fie paralelogram .

(5p) 6. Fie ABC un triunghi, cu tgA=2, \(tgB=\frac{8-5\sqrt{3}}{11}\). Să se determine măsura unghiului C.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1.Fie matricea \(A=\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{matrix} \right)\), de ordin 3, cu elemente din mulțimea numerelor reale.

(5p) a) Să se verifice dacă \({{A}^{3}}-A={{A}^{2}}-{{I}_{3}}\)

(5p) b) Să se arate că \({{A}^{n}}-{{A}^{n-2}}={{A}^{2}}-{{I}_{3}},\,\,\forall n\in N,\,n\ge 3\)

(5p) c) Să se arate că suma elementelor matricei Aⁿ este n+3

2. Fie polinomul \(p\left( X \right)={{X}^{3}}+a{{X}^{2}}+X+b,\,a,b\in \mathbb{Z}\) și rădăcinile \({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}\in \mathbb{C}\)

(5p) a) Să se afle rădăcinile polinomului p, pentru a=b=1

(5p) b) Să se determine a și b, știind că o rădăcină a polinomului este \(x=i\).

(5p) c) Știind că b=1, să se determine a știind că polinomul admite o rădăcină rațională.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția \(f:\left( -3,3 \right)\to \mathbb{R},\,\,f\left( x \right)=\ln \frac{x+3}{3-x}\).

(5p) a) Să se calculeze \({f}'\left( x \right)\) și să se determine intervalele de monotonie

(5p) b) Să se determine asimptotele funcției f

 (5p) c) Să se calculeze \(\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,xf\left( \frac{1}{x} \right)\)

2. Se consideră șirul \({{\left( {{I}_{n}} \right)}_{n\ge 0}},\,\,{{I}_{n}}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{\ln \left( {{x}^{n}}+1 \right)}{{{x}^{2}}+1}dx},\,n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\)

(5p) a) Să se calculeze \({{I}_{0}}\).

(5p) b) Să se studieze monotonia șirului

(5p) c) Folosind, eventual relația \(\ln \left( 1+t \right)\le t\), să se arate că \(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{I}_{n}}=0\).