Varianta 33

Prof. Ionescu Maria

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Calculaţi suma tuturor numerelor naturale mai mici decât 100 care sunt divizibile cu 5.

(5p) 2. Să se rezolve ecuaţia  \({{3}^{x+2}}+{{3}^{x+1}}+{{3}^{x}}=117\) .

(5p) 3. Calculaţi numărul termenilor raţionali din dezvoltarea \({{\left( 1+\sqrt[3]{2} \right)}^{20}}\) .

(5p) 4. Să se determine probabilitatea ca, alegând un număr de trei cifre cu elemente din mulţimea {0,1,2,3}, acesta să fie număr par.

(5p) 5.  Să se determine numărul real m astfel ȋncât dreptele \({{d}_{1}}:3x-2y+5=0\) şi \({{d}_{2}}:4x+my-2=0\) să fie paralele.

(5p) 6.  Calculaţi lungimea medianei din A corespunzătoare triunghiului ABC determinat de punctele A(4,3), B(2,5) şi C(-2,-1).

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră punctele A(3,2) B(1,5) şi C(-n,n), unde \(n\in {{N}^{*}}\)

(5p) a) Pentru n=1 să se scrie ecuaţia dreptei AC;

(5p) b) Să se demonstreze că punctele A, B, C nu pot fi coliniare, \(\forall n\in {{N}^{*}}\);         

(5p) c) Să se determine \(n\in {{N}^{*}}\) astfel ȋncât aria triunghiului ABC să fie 10.

2. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie: \(x*y=6xy-5\left( x+y \right)+5,\forall x,y\in R\)

(5p) a) Să se demonstreze asociativitatea legii de compoziţie;

(5p) b) Să se determine simetricul lui 2 ȋn raport cu legea de compozitie “ * ” ;

(5p) c) Să se rezolve ecuaţia \(x*x*x=x,\forall x\in R\)

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcţia \(f:R\to R,f(x)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2\)

(5p) a) Calculaţi \(\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{x-1}\) ;

(5p) b) Să se determine punctele de extrem local ale funcţiei f ;

(5p) c) Determinaţi numărul soluţiilor reale ale ecuaţiei \(f\left( x \right)=m,\) dacă \(m\in \left( -2,2 \right)\) .

2. Se consideră şirul \({{\left( {{I}_{n}} \right)}_{n\in {{N}^{*}}}}\) definit prin \({{I}_{n}}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{x}^{n}}}{x+2014}dx,\forall n\in {{N}^{*}}}\)

(5p) a) Calculaţi \({{I}_{1}}\)

(5p) b) Să se arate că şirul \({{\left( {{I}_{n}} \right)}_{n\in {{N}^{*}}}}\) verifică relaţia \({{I}_{n+1}}+2014{{I}_{n}}=\frac{1}{n+1},\forall n\in {{N}^{*}}\)

(5p) c) Să se calculeze \(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,n{{I}_{n}}\)