Varianta 34

 Prof.  Ionescu Maria

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Să se calculeze modulul numărului complex \(z=1+i+{{i}^{2}}+...+{{i}^{10}}\) .

(5p) 2. Să se determine \(m\in R\)  astfel ȋncât \({{x}^{2}}-mx+9>0,\forall x\in R\) .

(5p) 3. Să se rezolve ȋn mulţimea numerelor reale ecuaţia \(\sqrt{{{x}^{2}}-4x+3}=x-1\) .

(5p) 4. Să se determine probabilitatea ca, alegând un element al mulţimii A={0,1,2,...,10}, acesta să verifice inegalitatea \(n!<100\) .

(5p) 5. Se consideră dreptele de ecuaţii \({{d}_{1}}:2x-3y+5=0\) şi \({{d}_{2}}:ax+6y-1=0\).Să se determine numărul real a astfel ȋncât drepetele să fie perpendiculare.

(5p) 6. Să se calculeze \(\sin {{75}^{\circ }}-\sin {{15}^{\circ }}\) .

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. 1. Se consideră sistemul de ecuaţii : \(\left\{ \begin{matrix} x+y+mz=1 \\ x+my+z=2 \\ mx+y+z=3 \\ \end{matrix},m\in R \right.\) .

(5p) a) Să se determine \(m\in R\) pentru care detrminantul matricei este nul;

(5p) b) Pentru m=0  să se rezolve sistemul de ecuaţii;

(5p) c) Să se discute ȋn funcţie de \(m\in R\)rangul matricei sistemului.

2. Se consideră polinomul \(f\in {{Z}_{4}}\left[ X \right]\) , \(f={{X}^{3}}+aX+b\)

(5p) a) Să se determine numărul polinoamelor f  de această formă;

(5p) b) Pentru \(a=b=\overset{\wedge }{\mathop{2}}\,\) să se determine restul ȋmpărţirii polinomului f  la polinomul \(X+\overset{\wedge }{\mathop{2}}\,\) ;

(5p) c) Pentru \(b=\overset{\wedge }{\mathop{1}}\,\) să se determine \(a\in {{Z}_{4}}\) astfel ȋncât polinomul f  să nu admită rădăcini ȋn \({{Z}_{4}}\left[ X \right]\)

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcţia \(f:R/\left\{ 2014 \right\}\to R,f\left( x \right)=\frac{x}{x-2014}.\)

(5p) a) Să se demonstreze că f este strict descrescătoare pe intervalul \(\left( -\infty ,0 \right)\)

(5p) b) Să se determine asimptotele graficului funcţiei f  ;

(5p) c) Să se calculeze \(\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( f\left( x \right) \right)}^{x}}\)

2. Se consideră funcţiile \(f:\left( 0,\infty \right)\to R,f\left( x \right)=\ln x+1\) şi \(g:\left( 0,\infty \right)\to R,g\left( x \right)=x\ln x\)

(5p) a) Să se arate că funcţia g este o primitivă a funcţiei f  ;

(5p) b) Calculaţi \(\int\limits_{1}^{e}{f\left( x \right)\centerdot g\left( x \right)dx}\)

(5p) c) Să se arate că \(e-1\le \int\limits_{1}^{e}{f\left( x \right)dx\le 2\left( e-1 \right)}\)