Varianta 34

 Prof.  Ionescu Maria

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Să se calculeze modulul numărului complex $z=1+i+{{i}^{2}}+...+{{i}^{10}}$ .

(5p) 2. Să se determine $m\in R$  astfel ȋncât ${{x}^{2}}-mx+9>0,\forall x\in R$ .

(5p) 3. Să se rezolve ȋn mulţimea numerelor reale ecuaţia $\sqrt{{{x}^{2}}-4x+3}=x-1$ .

(5p) 4. Să se determine probabilitatea ca, alegând un element al mulţimii A={0,1,2,...,10}, acesta să verifice inegalitatea $n!<100$ .

(5p) 5. Se consideră dreptele de ecuaţii ${{d}_{1}}:2x-3y+5=0$ şi ${{d}_{2}}:ax+6y-1=0$.Să se determine numărul real a astfel ȋncât drepetele să fie perpendiculare.

(5p) 6. Să se calculeze $\sin {{75}^{\circ }}-\sin {{15}^{\circ }}$ .

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. 1. Se consideră sistemul de ecuaţii : $\left\{ \begin{matrix} x+y+mz=1 \\ x+my+z=2 \\ mx+y+z=3 \\ \end{matrix},m\in R \right.$ .

(5p) a) Să se determine $m\in R$ pentru care detrminantul matricei este nul;

(5p) b) Pentru m=0  să se rezolve sistemul de ecuaţii;

(5p) c) Să se discute ȋn funcţie de $m\in R$rangul matricei sistemului.

2. Se consideră polinomul $f\in {{Z}_{4}}\left[ X \right]$ , $f={{X}^{3}}+aX+b$

(5p) a) Să se determine numărul polinoamelor f  de această formă;

(5p) b) Pentru $a=b=\overset{\wedge }{\mathop{2}}\,$ să se determine restul ȋmpărţirii polinomului f  la polinomul $X+\overset{\wedge }{\mathop{2}}\,$ ;

(5p) c) Pentru $b=\overset{\wedge }{\mathop{1}}\,$ să se determine $a\in {{Z}_{4}}$ astfel ȋncât polinomul f  să nu admită rădăcini ȋn ${{Z}_{4}}\left[ X \right]$

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcţia $f:R/\left\{ 2014 \right\}\to R,f\left( x \right)=\frac{x}{x-2014}.$

(5p) a) Să se demonstreze că f este strict descrescătoare pe intervalul $\left( -\infty ,0 \right)$

(5p) b) Să se determine asimptotele graficului funcţiei f  ;

(5p) c) Să se calculeze $\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( f\left( x \right) \right)}^{x}}$

2. Se consideră funcţiile $f:\left( 0,\infty \right)\to R,f\left( x \right)=\ln x+1$ şi $g:\left( 0,\infty \right)\to R,g\left( x \right)=x\ln x$

(5p) a) Să se arate că funcţia g este o primitivă a funcţiei f  ;

(5p) b) Calculaţi $\int\limits_{1}^{e}{f\left( x \right)\centerdot g\left( x \right)dx}$

(5p) c) Să se arate că $e-1\le \int\limits_{1}^{e}{f\left( x \right)dx\le 2\left( e-1 \right)}$