Varianta 35

Prof. Ionescu Maria

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Calculaţi \({{\log }_{\frac{1}{4}}}\sqrt[3]{2}+{{\left( \sqrt{6} \right)}^{-2}}\) .

(5p) 2. Să se determine funcţia de gradul al doilea \(f:R\to R\) care este tangentă la axa OX  şi trece prin punctele \(A\left( 0,-4 \right)\)  şi \(B\left( 1,-1 \right)\).

(5p) 3. Să se rezolve ecuaţia \({{\lg }^{2}}{{x}^{2}}-20\lg x+24=0\) .

(5p) 4. Să se calculeze probabilitatea ca alegând un număr din mulţimea numerelor naturale de trei cifre, acesta să aibe produsul cifrelor egal cu 6.

(5p) 5. Calculaţi lungimea ȋnălţimii din C a triunghiului ABC determinat de punctele \(A\left( 3,0 \right)\); \(B\left( 0,4 \right)\)şi \(C\left( 3,4 \right)\).

(5p) 6. Ştiind că\(\sin x=-\frac{1}{2}\) , să se calculeze \(\cos 2x\) .

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricele \(A=\left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 1 & 4 \\ \end{matrix} \right)\) şi \({{I}_{2}}=\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)\).

(5p) a) Să se arate că \({{A}^{2}}-6A+8{{I}_{2}}={{O}_{2}}\)   ;

(5p) b) Să se determine matricea \(X\in {{M}_{2}}\left( C \right)\) astfel ȋncât \(A\cdot X=X\cdot A\)

(5p) c) Să se determine numărul soluţiilor ecuaţiei \({{Y}^{2}}=A\) , ȋn mulţimea  \({{M}_{2}}\left( C \right)\)

2. Se consideră polinomul \(f\in R\left[ X \right]\) , \(f={{X}^{4}}-2014{{X}^{2}}+2013\)

(5p) a) Să se calculeze \({{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}+{{x}_{4}}\) ;

(5p) b) Să se determine rădăcinile reale ale polinomului  f  ;

(5p) c) Calculaţi \(\left( {{x}_{1}}+2 \right)\left( {{x}_{2}}+2 \right)\left( {{x}_{3}}+2 \right)\left( {{x}_{4}}+2 \right)\)

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcţia \(f:R\to R,f\left( x \right)=\ln \left( {{x}^{2}}+1 \right)\)

(5p) a) Să se studieze monotonía funcţiei  f  .

(5p) b) Să se determine ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f  ȋn punctul de abscisă \({{x}_{0}}=1\), situat pe graficul funcţiei  f .

(5p) c) Să se determine punctele de inflexiune ale graficului funcţiei  f  .

2. Se consideră funcţia \(f:R\to R,f\left( x \right)=\sqrt{{{x}^{2}}+2014}\)

(5p) a) Calculaţi \(\int\limits_{11}^{102}{f\left( \sqrt{x} \right)dx}\) ;

(5p) b) Să se arate că \(\int\limits_{1}^{11}{\frac{x}{{{f}^{2}}\left( x \right)}dx=\ln \frac{45}{\sqrt{2015}}}\) ;

(5p) c) Să se arate că orice primitivă F a funcţiei  f  este strict crescătoare pe R.