Varianta 35

Prof. Ionescu Maria

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Calculaţi ${{\log }_{\frac{1}{4}}}\sqrt[3]{2}+{{\left( \sqrt{6} \right)}^{-2}}$ .

(5p) 2. Să se determine funcţia de gradul al doilea $f:R\to R$ care este tangentă la axa OX  şi trece prin punctele $A\left( 0,-4 \right)$  şi $B\left( 1,-1 \right)$.

(5p) 3. Să se rezolve ecuaţia ${{\lg }^{2}}{{x}^{2}}-20\lg x+24=0$ .

(5p) 4. Să se calculeze probabilitatea ca alegând un număr din mulţimea numerelor naturale de trei cifre, acesta să aibe produsul cifrelor egal cu 6.

(5p) 5. Calculaţi lungimea ȋnălţimii din C a triunghiului ABC determinat de punctele $A\left( 3,0 \right)$; $B\left( 0,4 \right)$şi $C\left( 3,4 \right)$.

(5p) 6. Ştiind că$\sin x=-\frac{1}{2}$ , să se calculeze $\cos 2x$ .

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricele $A=\left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 1 & 4 \\ \end{matrix} \right)$ şi ${{I}_{2}}=\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)$.

(5p) a) Să se arate că ${{A}^{2}}-6A+8{{I}_{2}}={{O}_{2}}$   ;

(5p) b) Să se determine matricea $X\in {{M}_{2}}\left( C \right)$ astfel ȋncât $A\cdot X=X\cdot A$

(5p) c) Să se determine numărul soluţiilor ecuaţiei ${{Y}^{2}}=A$ , ȋn mulţimea  ${{M}_{2}}\left( C \right)$

2. Se consideră polinomul $f\in R\left[ X \right]$ , $f={{X}^{4}}-2014{{X}^{2}}+2013$

(5p) a) Să se calculeze ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}+{{x}_{4}}$ ;

(5p) b) Să se determine rădăcinile reale ale polinomului  f  ;

(5p) c) Calculaţi $\left( {{x}_{1}}+2 \right)\left( {{x}_{2}}+2 \right)\left( {{x}_{3}}+2 \right)\left( {{x}_{4}}+2 \right)$

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcţia $f:R\to R,f\left( x \right)=\ln \left( {{x}^{2}}+1 \right)$

(5p) a) Să se studieze monotonía funcţiei  f  .

(5p) b) Să se determine ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f  ȋn punctul de abscisă ${{x}_{0}}=1$, situat pe graficul funcţiei  f .

(5p) c) Să se determine punctele de inflexiune ale graficului funcţiei  f  .

2. Se consideră funcţia $f:R\to R,f\left( x \right)=\sqrt{{{x}^{2}}+2014}$

(5p) a) Calculaţi $\int\limits_{11}^{102}{f\left( \sqrt{x} \right)dx}$ ;

(5p) b) Să se arate că $\int\limits_{1}^{11}{\frac{x}{{{f}^{2}}\left( x \right)}dx=\ln \frac{45}{\sqrt{2015}}}$ ;

(5p) c) Să se arate că orice primitivă F a funcţiei  f  este strict crescătoare pe R.