Varianta 37

Prof. Isofache Cătălina Anca

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Calculaţi \(\left| {{z}^{3}} \right|+\left| {{\overline{z}}^{3}} \right|\),dacă \(z=-i+\sqrt{3}\).

(5p) 2.Determinaţi mulţimea punctelor de intersecţie dintre graficele funcţiilor \(f:R\to R\), \(f(x)=2{{x}^{2}}-3x+1\) şi \(g:R\to R\), g(x)=2-2x.

(5p) 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia: \({{9}^{x}}-18\cdot {{6}^{x-1}}+{{2}^{2x+1}}=0\).

(5p) 4. Calculaţi rangul termenului ce nu conţine x din dezvoltarea binomului:\({{\left( x+\frac{2}{\sqrt[3]{x}} \right)}^{100}}\).

(5p) 5. Determinaţi  valorile parametrului real m, ştiind că dreptele de ecuaţii (m+1)x-2y-5=0 şi 4x-(m-1)y+7=0 sunt paralele.

(5p) 6. Calculaţi \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\),unde G este centrul de greutate al triunghiului ABC.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1.Se consideră matricele \(A=\left( \begin{matrix} 1 & a & b \\ 1 & {{a}^{2}} & {{b}^{2}} \\ 1 & {{a}^{3}} & {{b}^{3}} \\ \end{matrix} \right)\) şi \(B=\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ bc & ac & ab \\ {{a}^{2}} & {{b}^{2}} & {{c}^{2}} \\ \end{matrix} \right)\).

(5p) a) Arătaţi că detA=ab(a-1)(b-1)(b-a) şi detB=(a-b)(b-c)(a-c)(a+b+c).

(5p) b) Demonstraţi că \(\det (A\cdot \ {}^{T}A)\ge 0\),unde \({}^{T}A\) este transpusa matricei A.

(5p) c) Calculaţi \(\det (A\ -\ {}^{T}A)\).

2. Se consideră polinomul \(f\in C[X]\),\(f={{x}^{4}}-{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-x+1\)cu rădăcinile \({{x}_{k}},k=\overline{1;4}\).

(5p) a) Arătaţi că (x+1)f(x)=\({{x}^{5}}+1\).

(5p) b) Calculaţi \(\sum\limits_{k=1}^{4}{x_{k}^{5}}\).

(5p) c) Demonstraţi că polinomul f nu are nicio rădăcină reală.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcţia \(f:(0;\infty )\to R\), \(f(x)=\ln (x+1)-\ln x\).

(5p) a) Calculaţi asimptotele la graficul funcţiei f.

(5p) b) Stabiliţi intervalele de monotonie ale funcţiei f.

(5p) c) Arătaţi că  şirul \({{a}_{n}}=\ln (n+2)-\sum\limits_{k=1}^{n}{f(k)}\)este convergent.

2. Se consideră funcţia \(f:R\to R\), \(f(x)=\frac{1}{\cos x+2}\).

(5p) a) Calculaţi \(\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f(x)\sin xdx}\).

(5p) b) Arătaţi că funcţia f admite primitive care sunt strict crescătoare pe R.

(5p) c) Calculaţi \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f(x)dx}\).