Varianta 39

Prof. Lămătic Lidia Carmen

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Arătaţi că numărul \(n=\left| 2\sqrt{2}-2 \right|+{{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{2}}\) este natural.

(5p) 2. Determinaţi numărul real x pentru care numerele \(\sqrt[3]{8},2x+1,8\) sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

(5p) 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia \({{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+3 \right)={{\log }_{2}}\left( 3x+1 \right)\).

(5p) 4. Determinaţi câte numere naturale pare \(\overline{abc}\), se pot forma ştiind că  \(a,b,c\in \left\{ 0,1,4,5 \right\}\).

(5p) 5.  Determinaţi numărul real a pentru care vectorii \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}\) şi \(\overrightarrow{v}=-4\overrightarrow{i}+\left( a+1 \right)\overrightarrow{j}\) sunt perpendiculari.

(5p) 6. Calculaţi raza cercului circumscris triunghiului dreptunghic isoscel ABC, ştiind că \(m\left( \widehat{A} \right)={{90}^{\circ }}\) şi \(AB=\sqrt{2}.\)

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Fie matricea \(A=\left( \begin{matrix} 1 & 1 & a \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)\in {{M}_{3}}\left( \mathbb{R} \right)\).

(5p) a) Să se calculeze \(f\left( A \right)={{A}^{3}}-2{{A}^{2}}+A+{{I}_{3}}\).

(5p) b) Să se arate că \({{A}^{n}}=\left( \begin{matrix} 1 & n & na+C_{n}^{2} \\ 0 & 1 & n \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right),\) pentru orice n număr natural, \(n\ge 2.\)

(5p) c) Arătaţi că A este inversabilă pentru orice \(a\in \mathbb{R}\)şi calculaţi \({{A}^{-1}}.\)

2. Se consideră polinomul \(f={{X}^{4}}+4{{X}^{3}}+a{{X}^{2}}-6X+b\in \mathbb{C}\left[ X \right]\).

(5p) a) Să se determine \(a,b\in \mathbb{C}\) astfel încât polinomul f să fie divizibil cu  \(X-1\) şi cu \(X+2.\)

(5p) b) Pentru \(a=1,b=0\)descompuneţi polinomul în factori ireductibili în \(\mathbb{C}\left[ X \right]\).

(5p) c) Determinaţi o relaţie între a şi b ştiind că \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}}{{x}_{4}}=6.\)

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcţia \(f:\left( 1;+\infty \right)\to \mathbb{R},f\left( x \right)=\ln \frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}-1}.\)

(5p) a) Calculaţi \(f'\left( x \right).\)

(5p) b) Determinaţi ecuaţia asimptotei spre \(+\infty \)la graficul funcţiei.

(5p) c) Determinaţi ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă \({{x}_{o}}=2,\) situat pe graficul funcţiei.

2. Se consideră funcţiile \(f:\left( 3;+\infty \right)\to \mathbb{R},f\left( x \right)=3{{x}^{2}}+3+\frac{1}{x-3}\) şi \(F:\left( 3;+\infty \right)\to \mathbb{R},\) \(F\left( x \right)={{x}^{3}}+3x+\ln \left( x-3 \right).\)

(5p) a) Arătaţi că orice primitivă a lui f este strict crescătoare pe \(\left( 3;+\infty  \right).\)

(5p) b) Verificaţi dacă F este o primitivă a funcţiei f.

(5p) c) Calculaţi \(\int\limits_{4}^{5}{f'\left( x \right)}dx.\)