Varianta 40
Prof. Lămătic Lidia Carmen
- Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
- Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
- La toate subiectele se cer rezolvări complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. Determinaţi produsul elementelor mulţimii A={x∈Z||x+2|≤10}.
(5p) 2. Determinaţi m∈R−{1} astfel încât vârfurile parabolei asociate funcţiei f:R→R, f(x)=(m−1)x2−2mx+m+1 să fie situate sub axa Ox.
(5p) 3. Rezolvaţi, în mulţimea numerelor reale, ecuaţia 5x+5x+2=265.
(5p) 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând la întâmplare un număr natural de două cifre, acesta să fie cub perfect.
(5p) 5. Determinaţi ecuaţia dreptei care trece prin A(1,−2) şi este perpendiculară pe dreapta de ecuaţie 4x+2y−11=0.
(5p) 6. Calculaţi cosinusul unghiului B al triunghiului ABC dacă AB=3,AC=5şi BC=6.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
- Se consideră mulţimile P={A∈M3(R)|A2=I3} şi Q={A∈M3(R)|A2=A}.
(5p) a) Dacă A∈Patunci B=12(A+I3)∈Q.
(5p) b) Dacă A∈Q atunci C=2A−I3∈P.
(5p) c) Demonstraţi că A(a,b)=(1ab01a001)∈M3(R) este inversabilă pentru orice a,b∈R şi calculaţi A−1(a,b).
- Fie (I,+,⋅)un inel necomutativ. Pe mulţimea I se defineşte legea de compoziţie x∗y=xy+yx.
(5p) a) Studiaţi comutativitatea şi asociativitatea legii de compoziţie ″∗″.
(5p) b) Demonstraţi că operaţia ″∗″ este distributivă faţă de adunare.
(5p) c) Să se arate că x2∗(y∗x)=(x2∗y)∗x,∀x,y∈I.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
- Se consideră f:R→R,f(x)=xex.
(5p) a) Precizaţi asimptotele funcţiei.
(5p) b) Determinaţi punctele de extrem ale funcţiei f.
(5p) c) Aflaţi punctele de inflexiune ale funcţiei.
- Fie funcţiile f:R→R,f(x)=1+x+x2 şi F:R→R,F(x)=x∫0f(t)dt.
(5p) a) Studiaţi monotonia funcţiei F.
(5p) b) Arătaţi că F este inversabilă.
(5p) c) Calculaţi 116∫0F−1(x)dx, unde F−1este inversa lui F.