FaceBook  Twitter  

Varianta 40

Prof. Lămătic Lidia Carmen

 

  • Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
  • Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
  • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

 

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Determinaţi produsul elementelor mulţimii A={xZ||x+2|10}.

(5p) 2. Determinaţi mR{1} astfel încât vârfurile parabolei asociate funcţiei f:RR, f(x)=(m1)x22mx+m+1 să fie situate sub axa Ox.

(5p) 3. Rezolvaţi, în mulţimea numerelor reale, ecuaţia 5x+5x+2=265.

(5p) 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând la întâmplare un  număr natural de două cifre, acesta să fie cub perfect.

(5p) 5. Determinaţi ecuaţia dreptei care trece prin A(1,2) şi este perpendiculară pe dreapta de ecuaţie 4x+2y11=0.

(5p) 6. Calculaţi cosinusul unghiului B al triunghiului ABC dacă AB=3,AC=5şi BC=6.

 

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

  1. Se consideră mulţimile P={AM3(R)|A2=I3} şi Q={AM3(R)|A2=A}.

(5p) a) Dacă APatunci B=12(A+I3)Q.

(5p) b) Dacă AQ atunci C=2AI3P.

(5p) c) Demonstraţi că A(a,b)=(1ab01a001)M3(R) este inversabilă pentru orice a,bR şi calculaţi A1(a,b).

  1. Fie (I,+,)un inel necomutativ. Pe mulţimea I se defineşte legea de compoziţie xy=xy+yx.

(5p) a) Studiaţi comutativitatea şi asociativitatea legii de compoziţie .

(5p) b) Demonstraţi că operaţia este distributivă faţă de adunare.

(5p) c) Să se arate că x2(yx)=(x2y)x,x,yI.

 

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

  1. Se consideră f:RR,f(x)=xex.

(5p) a) Precizaţi asimptotele funcţiei.

(5p) b) Determinaţi punctele de extrem ale funcţiei f.

(5p) c) Aflaţi punctele de inflexiune ale funcţiei.

  1. Fie funcţiile f:RR,f(x)=1+x+x2 şi F:RR,F(x)=x0f(t)dt.

(5p) a) Studiaţi monotonia funcţiei F.

(5p) b) Arătaţi că F este inversabilă.

(5p) c) Calculaţi 1160F1(x)dx, unde F1este inversa lui F.