Varianta 40

Prof. Lămătic Lidia Carmen

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Determinaţi produsul elementelor mulţimii \(A=\left\{ x\in \mathbb{Z}|\left| x+2 \right|\le 10 \right\}.\)

(5p) 2. Determinaţi \(m\in \mathbb{R}-\left\{ 1 \right\}\) astfel încât vârfurile parabolei asociate funcţiei \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\) \(f\left( x \right)=\left( m-1 \right){{x}^{2}}-2mx+m+1\) să fie situate sub axa Ox.

(5p) 3. Rezolvaţi, în mulţimea numerelor reale, ecuaţia \({{5}^{x}}+{{5}^{x+2}}=\frac{26}{5}.\)

(5p) 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând la întâmplare un  număr natural de două cifre, acesta să fie cub perfect.

(5p) 5. Determinaţi ecuaţia dreptei care trece prin \(A\left( 1,-2 \right)\) şi este perpendiculară pe dreapta de ecuaţie \(4x+2y-11=0.\)

(5p) 6. Calculaţi cosinusul unghiului B al triunghiului ABC dacă \(AB=3,AC=5\)şi \(BC=6.\)

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră mulţimile \(P=\left\{ A\in {{M}_{3}}\left( \mathbb{R} \right)|{{A}^{2}}={{I}_{3}} \right\}\) şi \(Q=\left\{ A\in {{M}_{3}}\left( \mathbb{R} \right)|{{A}^{2}}=A \right\}\).

(5p) a) Dacă \(A\in P\)atunci \(B=\frac{1}{2}\left( A+{{I}_{3}} \right)\in Q.\)

(5p) b) Dacă \(A\in Q\) atunci \(C=2A-{{I}_{3}}\in P.\)

(5p) c) Demonstraţi că \(A\left( a,b \right)=\left( \begin{matrix} 1 & a & b \\ 0 & 1 & a \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)\in {{M}_{3}}\left( \mathbb{R} \right)\) este inversabilă pentru orice \(a,b\in \mathbb{R}\) şi calculaţi \({{A}^{-1}}\left( a,b \right).\)

2. Fie \(\left( I,+,\cdot \right)\)un inel necomutativ. Pe mulţimea I se defineşte legea de compoziţie \(x*y=xy+yx.\)

(5p) a) Studiaţi comutativitatea şi asociativitatea legii de compoziţie \(''*''.\)

(5p) b) Demonstraţi că operaţia \(''*''\) este distributivă faţă de adunare.

(5p) c) Să se arate că \({{x}^{2}}*\left( y*x \right)=\left( {{x}^{2}}*y \right)*x,\forall x,y\in I.\)

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f\left( x \right)=\frac{x}{{{e}^{x}}}.\)

(5p) a) Precizaţi asimptotele funcţiei.

(5p) b) Determinaţi punctele de extrem ale funcţiei f.

(5p) c) Aflaţi punctele de inflexiune ale funcţiei.

2. Fie funcţiile \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f\left( x \right)=1+x+{{x}^{2}}\) şi \(F:\mathbb{R}\to \mathbb{R},F\left( x \right)=\int\limits_{0}^{x}{f\left( t \right)}dt.\)

(5p) a) Studiaţi monotonia funcţiei F.

(5p) b) Arătaţi că F este inversabilă.

(5p) c) Calculaţi \(\int\limits_{0}^{\frac{11}{6}}{{{F}^{-1}}\left( x \right)}dx,\) unde \({{F}^{-1}}\)este inversa lui F.