Varianta 41

Prof. Lămătic Lidia Carmen

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Calculaţi raţia progresiei geometrice \({{\left( {{a}_{n}} \right)}_{n\ge 1}}\), cu termeni pozitivi, dacă \({{a}_{2}}+{{a}_{3}}=4\) şi \({{a}_{4}}+{{a}_{5}}=36.\)

(5p) 2. Determinaţi coordonatele punctelor de intersecţie a graficului funcţiei \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f\left( x \right)={{2}^{3-x}}-4\) cu axele de coordonate.

(5p) 3. Rezolvaţi, în mulţimea numerelor reale, ecuaţia \(\sqrt[3]{{{x}^{2}}-1}=x-1.\)

(5p) 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegînd la întâmplare un număr natural de trei cifre distincte, suma cifrelor acestuia să fie egală cu 5

(5p) 5. Se consideră vectorii \(\overrightarrow{u}=3\overrightarrow{i}+a\overrightarrow{j}\) şi \(\overrightarrow{v}=-\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}.\) Să se arate că unghiul format de cei doi vectori este ascuţit dacă şi numai dacă \(a>3.\)

(5p) 6. Arătaţi că \(\sqrt{2}\left( {{\cos }^{2}}\frac{\pi }{8}-{{\sin }^{2}}\frac{\pi }{8} \right)=1.\)

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Fie sistemul de ecuaţii liniare \(\left\{ \begin{matrix} mx+y+z=3 \\ x+my+z=5 \\ x+y+mz=7 \\ \end{matrix} \right.,\) unde \(m\in \mathbb{R}.\)

(5p) a) Să se determine\(m\in \mathbb{R}\) astfel încât sistemul să fie compatibil determinat.

(5p) b) Rezolvaţi sistemul pentru \(m\in \mathbb{R}-\{-2,1\}\).

(5p) c) Determinaţi \(m\in \mathbb{R}\) astfel încât soluţia \(\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}},{{z}_{0}} \right)\) este progresie aritmetică cu raţia 2.

2. Fie \(a\in \mathbb{R}_{+}^{*}\)şi \({{I}_{a}}=(a,\infty )\). Pe \(\mathbb{R}\) se defineşte legea de compoziţie \(x\circ y=xy-2x-2y+6\).

(5p) a) Să se determine \(a\in \mathbb{R}_{+}^{*}\) pentru care \({{I}_{a}}\) este parte stabilă pentru această lege de compoziţie.

(5p) b) Ştiind că \(({{I}_{2}},\circ )\) este grup abelian, să se calculeze inversul elementului 2014.

(5p) c) Să se arate că \(f:(\mathbb{R}_{+}^{*},\cdot )\to ({{I}_{2}},\circ )\), \(f(x)=x+2\) este izomorfism de grupuri.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcţia \(f:(-a,a)\to \mathbb{R}\), \(f(x)=\ln \frac{a+x}{a-x}\), \(a\in \mathbb{R}_{+}^{*}\).

(5p) a) Cercetaţi dacă funcţia admite asimptote.

(5p) b) Demonstraţi că ecuaţia \(f(x)=0\) are soluţie unică.

(5p) c) Determinaţi intervalele de convexitate ale funcţiei.

2. Se consideră \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f(x)={{e}^{2x}}.\)

(5p) a) Să se arate că orice primitivă a funcţiei f este convexă pe \(\mathbb{R}\).

(5p) b) Să se calculeze \(\int\limits_{0}^{1}{xf(x)dx}.\)

(5p) c) Să se calculeze volumul corpului obţinut prin rotirea graficului funcţiei \(g:[-1,1]\to \mathbb{R},\) \(g(x)={{f}^{2}}(x)-{{e}^{4x}}+x-2\) în jurul axei Ox.