Varianta 42

Prof. Marcu Ştefan Florin

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Într-o progresie geometrică \({{({{b}_{n}})}_{n\ge 1}}\)cu termeni reali , se ştie că \({{b}_{1}}=2\) şi \({{b}_{4}}=54\) . Calculaţi suma primilor şase termeni ai progresiei .

(5p) 2. Aflaţi coordonatele punctelor de intersecţie dintre graficul funcţiei\(f:R\to R,f(x)={{x}^{2}}+x+2\) şi   dreapta de ecuaţie \(y=2x+8\) .

(5p) 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale, ecuaţia : \({{2}^{x-4}}={{4}^{x-2}}\) .

(5p) 4. Aflaţi câte numere naturale de patru cifre distincte, se pot scrie cu cifrele impare.

(5p) 5. Calculaţi perimetrul unui triunghi ABC, ştiind că : \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}\) şi \(\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{j}\) .

(5p) 6. Calculaţi cosinusul unghiului A al triunghiului ABC, ştiind că : AB=4, AC=5 şi BC=6 .

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Pentru fiecare număr real x, se consideră matricea : \(A(x)=\left( \begin{matrix} x & 1 & -1 \\ -1 & x & 2 \\ 1 & -2 & x \\ \end{matrix} \right)\)

(5p) a) Calculaţi \(\det (A(x)+A(-x))\) .

(5p) b) Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale, ecuaţia \(\det (A(x))=0\).

(5p) c) Arătaţi că suma elementelor de pe diagonala principală a matricei \(A(x)\cdot A(-x)\)este strict negativă .

1. Pe mulţimea numerelor reale, se defineşte legea de compoziţie asociativă :

 \(x\circ y=x\cdot y+5x+5y+20\)

(5p) a) Verificaţi că : \(x\circ y=(x+5)(y+5)-5\), \((\forall )x,y\in R\)

(5p) b) Aflaţi elementul neutru al legii de compoziţie .

(5p) c) Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale, ecuaţia : \(\underbrace{x\circ x\circ ...\circ x}_{2014-ori}=x\).

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcţia \(f:R\to R,f(x)=x+\sqrt{{{x}^{2}}+1}\) .

(5p) a) Arătaţi că \(f'(x)=\frac{f(x)}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}},(\forall )x\in R\) .

(5p) b) Aflaţi ecuaţia asimptotei orizontale spre \(-\infty \)la graficul funcţiei f .

(5p) c) Arătaţi că f este strict crescătoare pe R .

2. Se consideră şirul : \({{I}_{n}}=\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{n}}}\cdot {{e}^{x}}dx,n\in N\).

(5p) a) Calculaţi \({{I}_{1}}\).

(5p) b) Arătaţi că şirul \({{({{I}_{n}})}_{n\in N}}\) este strict descrescător .

(5p) c) Demonstraţi că : \({{I}_{n}}+n\cdot {{I}_{n-1}}=e,(\forall )n\in N*\).