Varianta 43

Prof. Marcu Ştefan Florin

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Calculaţi modulul numărului complex : \(z=\frac{{{(1+i)}^{2014}}}{{{(1-i)}^{2013}}}\) .

(5p) 2. Deterninaţi coordonatele vârfului parabolei asociate funcţiei : \(f:R\to R,f(x)={{x}^{2}}+x+1\).

(5p) 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale, ecuaţia : \({{\log }_{2}}({{x}^{2}}+1)=1+{{\log }_{2}}x\) .

(5p) 4. Calculaţi probabilitatea ca un număr natural de două cifre să fie divizibil cu 5 .

(5p) 5. În reperul cartezian XOY  se consideră punctele A,B,C de coordonate : A(1,1) ,  B(-1,-1) şi C(2,-2) . Calculaţi lungimea medianei duse din vârful C în triunghiul ABC .

(5p) 6. Într-un triunghi ABC avem \(A=\frac{\pi }{4},B=\frac{\pi }{3}\). Calculaţi \(\sin C\) .

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricea \(A=\left( \begin{matrix} -1 & 2 \\ 2 & -4 \\ \end{matrix} \right)\).

(5p) a)  Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale, ecuaţia : \(\det ({{I}_{2}}+x\cdot A)=1\)

(5p) b) Verificaţi că : \({{A}^{2}}+5\cdot A={{O}_{2}}\) .

(5p) c) Calculaţi suma : \(A+{{A}^{2}}+....+{{A}^{2014}}\) .

2. Se consideră polinomul \(f\in R[X],f={{X}^{3}}+a{{X}^{2}}+bX+c\) cu \(a,b,c\in R\) .

(5p) a) Să se determine \(a,b,c\in R\) , ştiind că \(f(0)=1,f(1)=4,f(-1)=0\)

(5p) b) Pentru \(a=b=c=1\) , aflaţi rădăcinile polinomului f .

(5p) c) Arătaţi că, dacă  \({{a}^{2}}-2b<0\), atunci f nu are toate rădăcinile reale .

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcţia \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f(x)=\frac{x}{{{x}^{2}}+1}\) .

(5p) a) Aflaţi ecuaţia asimptotei orizontale spre \(+\infty \)la graficul funcţiei f .

(5p) b) Calculaţi \(f'(x)\) .

(5p) c) Arătaţi că f este strict crescătoare pe \((-1,1)\)

2. Se consideră şirul : \({{I}_{n}}=\underset{0}{\overset{1}{\mathop \int }}\,\frac{{{x}^{n}}+nx+1}{x+1}\text{d}x,n\in N\)

(5p) a) Calculaţi \({{I}_{2}}\).

(5p) b) Arătaţi că : \(0<{{I}_{n}}<\left( n+2 \right)\ln 2\) .

(5p) c) Calculaţi : \(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{n}\left( {{\text{I}}_{n}}+{{\text{I}}_{n+1}} \right)\) .