Varianta 49

Prof: Nicolaescu Nicolae.

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Se consideră funcţia \(f:R\to R\), f(x)=2-3x.Arătaţi că fof este crescătoare.

(5p) 2. Să se rezolve în R ecuaţia \({{2}^{x}}+{{2}^{1-x}}=3\).

(5p) 3. Care este probabilitatea ca alegând un element \(k\in \left\{ 1,2,3,4,5 \right\}\), numărul \(C_{6}^{k}\) să fie par?

(5p) 4. Determinaţi \(z\in C,\,z=a+bi,\,\ a,b\in Z\)astfel încât  \(\left| z \right|=2\).

(5p) 5. Să se determine ecuaţia înălţimii AM  a \(\Delta ABC\), unde A(-1,3),B(0,6),C(5,-2).

(5p) 6. Să se calculeze sin2x, dacă \(\cos x=\frac{3}{7},x\in \left( 0,\frac{\pi }{2} \right)\).

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră sistemul \(\left\{ \begin{align} & {{a}^{2}}x+by+cz=-1 \\ & ax+{{b}^{2}}y+cz=-1 \\ & ax+by+{{c}^{2}}z=-1 \\ \end{align} \right.\) şi fie \(A=\left( \begin{matrix} {{a}^{2}} & b & c \\ a & {{b}^{2}} & c \\ a & b & {{c}^{2}} \\ \end{matrix} \right)\) matricea sistemului.

(5p) a) Să se arate că există a,b,c nenule astfel încât detA=0.

(5p) b) Rezolvaţi sistemul pentru a=2, b=1, c=1.

(5p) c) Determinaţi a,b,c\(\in R\)astfel încât sistemul să admită soluţia \(x=y=z=1\).

2. Pe \(\left( -\infty ,1 \right)\)definim legea \(x*y=1-{{\left( 1-x \right)}^{{{\log }_{2}}\left( 1-y \right)}}\).

(5p) a) Arătaţi că legea este asociativă.

(5p) b) Să se determine elementul neutru al legii.

(5p) c) Să se rezolve ecuaţia \(x*x*x=x\).

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcţia \(f:R\to R\), \(f(x)={{x}^{4}}-4x+3\).

(5p) a) Să se calculeze \(\underset{\begin{smallmatrix} x\to 1 \\ x<1 \end{smallmatrix}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{{{\left( x-1 \right)}^{3}}}\).

(5p) b) Arătaţi că f este descrescătoare pe \(\left( -\infty ,1 \right)\).

(5p) c) Determinaţi \(m,n\in R\), astfel încât \(\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt{f(x)}-\left( m{{x}^{2}}+n \right)=5\).

1. Fie funcţia \(f:R\to R\), \(f(x)=\ln \left( 1+{{e}^{x}} \right)\).

(5p) a) Să se arate că orice primitivă a lui f este crescătoare pe R.

(5p) b) Să se calculeze \(\int\limits_{0}^{1}{\ln \left( 1+{{e}^{x}} \right){{e}^{x}}dx}\).

(5p) c) Calculaţi derivata funcţiei \(g:\left( 0,\infty  \right)\to R,\,g\left( x \right)=\int\limits_{0}^{\ln x}{f(t)dt}\).