Varianta 3

Prof: Nicolaescu Nicolae.

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Să se determine \(x\in R\)astfel încât \(x,{{x}^{3}},5x+4\)să fie în progresie aritmetică.

(5p) 2. Să se rezolve ecuaţia \(A_{n}^{3}=n,\ n\in N,n\ge 3\).

(5p) 3. Să se rezolve ecuaţia \(\sqrt{3-x}+\sqrt{5x+9}=4\).

(5p) 4. Aflaţi \(x\in \left[ 0,2\pi  \right)\)din ecuaţia \(\cos \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\).

(5p) 5. În paralelogramul ABCD, AB=6cm, AD=4cm, \(m\left( \measuredangle BAD \right)={{75}^{o}}\).Să se calculeze \(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}\).

(5p) 6. Determinaţi valorile reale ale lui x pentru care expresia \(\arcsin ({{x}^{2}}+x+1)\)are sens.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră mulţimea M=\left\{ X\in {{M}_{2}}\left( R \right)/{{X}^{2}}=-3X \right\}.

(5p) a) Să se arate că \(\(A=\left( \begin{matrix} -4 & 1 \\ -4 & 1 \\ \end{matrix} \right)\in M\).\) (5p) b) Să se arate că dacă \(A\in M\),atunci  \(\det A=0\)sau \(\det A=9\).

(5p) c) Dacă \(A\in M\),\(\det A=0\) şi \(A\ne {{O}_{2}}\), atunci \(trA=-3\).

1. Se consideră punctele A(-1,1),B(2,3),C(1,0),D(-2,-2).

(5p) a) Arătaţi că ABCD paralelogram.

(5p) b) Să se calculeze \({{A}_{ABCD}}\).

(5p) c) Să se determine \(M\in BC,M\ne C\)astfel încât lungimea segmentului AM să fie egală cu \(\sqrt{5}\).

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcţia \(f:(-\infty ,-2012)\cup (0,+\infty )\to R\), \(f(x)=\ln (1+\frac{2012}{x})\)

(5p) a) Să se arate că f’ crescătoare pe domeniul maxim de definiţie.

(5p) b) Să se calculeze \(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left[ 1+f\left( n \right) \right]}^{n}}\).

(5p) c) Să se arate că \(\exists c\in \left( 1,2 \right)\) astfel încât \(\frac{2012}{c\left( c+2012 \right)}=-\ln \frac{1007}{2013}\).

1. Se consideră şirul \({{\left( {{I}_{n}} \right)}_{n\ge 1}}\), \({{I}_{n}}=\int\limits_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{3}}{{{\left( 1-3{{x}^{2}} \right)}^{n}}dx}\).

(5p) a) Calculaţi \({{I}_{1}}\).

(5p) b) Demonstraţi că şirul \({{\left( {{I}_{n}} \right)}_{n\ge 1}}\) este convergent.

(5p) c) Demonstraţi că \({{I}_{n}}=\frac{4{{n}^{2}}-4n}{4{{n}^{2}}-1}{{I}_{n-2}}\), \(\forall n\ge 3\).