Varianta 53

Prof.  Oancea Cristina

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1.Calculati \(({{3}^{0}}+{{3}^{1}}+{{.....3}^{2014}})\cdot \frac{2}{{{3}^{2015}}-1}\)

(5p) 2.Cate numere de 3 cifre se pot forma cu elementele multimii {0,1,2,3,4,5}?

(5p) 3.Calculati  (1-i)\(^{2014}\) -\({{(1+i)}^{2014}}\)

(5p) 4. Sa se determine coordonatele varfului parabolei asociate functiei \(f:R\to R,f(x)={{x}^{2}}-5x+6\)

(5p) 5. Fie vectorii \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\) care verifica relatiile \(\left| \overrightarrow{a} \right|=2,\left| \overrightarrow{b} \right|=3\) si \(m(\sphericalangle \alpha )={{30}^{0}}\) .Calculati \(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\)

(5p) 6. Calculati \(\sin {{35}^{\circ }}+\cos {{35}^{\circ }}+\cos {{145}^{\circ }}-\sin {{145}^{\circ }}\)

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1.Fie matrices A=\(\left( \begin{matrix} 5 & {{0}_{{}}} \\ 0 & {{5}_{{}}} \\ \end{matrix} \right)\) si I\(_{2}\)=\(\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)\) ,O\(_{2}\)= \(\left( \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix} \right)\)

(5p) a) Stiind ca A\(^{n}\) =\(\left( \begin{matrix} {{5}^{n}} & 0 \\ 0 & {{5}^{n}} \\ \end{matrix} \right)\) sa se calculeze \({{A}^{1}}+{{A}^{2}}+{{A}^{^{3}}}+.......+{{A}^{2014}}\)

(5p) b) Sa se calculeze \({{A}^{-1}}\)

(5p) c) Sa se rezolve ecuatia det(A\(^{n}\) )=3\(\cdot {{5}^{2n}}-1250\)

2. Fie polinoamele \(f(x)={{x}^{4}}-8{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-44x-32\) si \(g(x)=x-8\)

(5p) a) Sa se determine catul si restul impartirii polinomului f(x) la g(x)

(5p) b) Sa se calculeze x\(_{1}^{2}\)+x\(_{2}^{2}\)+x\(_{3}^{2}\) +x\(_{4}^{2}\)

(5p) c) Sa se descompuna polinomul f(x) in produs de factori ireductibili.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se considera functia \(f(x):R\to R,f(x)=({{x}^{2}}-1)\cdot \ln x\)

(5p) a) Rezolvati ecuatia \(f(x)\) +\({f}'(x)\) =0

(5p) b) Precizati intervalele de monotonie ale functiei.

(5p) c) Scrieti ecuatia tangentei la graficul functiei in punctul de abscisa 1.

2. Pentru \(\forall n\in N\) se considera functiile \({{f}_{n}}:\left[ -2;2 \right]\to R,{{f}_{n}}(x)=\frac{{{(x-2)}^{n}}}{x+3}\) si integralele I\(_{n}\) =\(\int\limits_{-2}^{2}{{{f}_{n}}}(x)dx\)

(5p) a) Sa se calculeze I\(_{1}\) .

(5p) b) Sa se calculeze \(\int\limits_{-2}^{2}{(x+3){{f}_{1}}}(x)dx\)

(5p) c) Calculati volumul corpului obtinut prin rotatia , in jurul axei Ox a graficului

\(g(x)=(x+3)\cdot {{f}_{2}}(x)\) pentru x \(\in \left[ 0,2 \right]\)