Varianta 56

Prof.  Oláh Csaba

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Să se demonstreze că \({{\left( 1+i \right)}^{100}}+{{\left( 1-i \right)}^{100}}\in Z\).

(5p) 2. Fie funcţiile \(f,g:R\to R\),\(f\left( x \right)={{x}^{2}}-4x+5\),\(g\left( x \right)=4x-7\). Să se afle coordonatele punctelor de întâlnire ale graficelor lui \(f\)şi g.

(5p) 3. Să se rezolve ecuaţia \({{\left( 3+2\sqrt{2} \right)}^{x}}+{{\left( 3-2\sqrt{2} \right)}^{x}}=2\), \(x\in R\).

(5p) 4. Care este probabilitatea ca alegând un număr de trei cifre, acesta sa fie format din cifre  prime distincte.

(5p) 5. Fie vectorii \(\overrightarrow{u}=m\overrightarrow{i}+\left( m+2 \right)\overrightarrow{j}\), \(\overrightarrow{v}=\left( 1-m \right)\overrightarrow{i}+\left( m-1 \right)\overrightarrow{j}\), \(m\in R\). Să se afle \(m\), dacă \(\left| \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} \right|=\sqrt{2}\).

(5p) 6. În triunghiul \(ABC\) se cunosc: \(AB=12cm,BC=16cm\)şi \(AC=20cm\). Să se afle lungimea razei cercului circumscris triunghiului \(ABC\).

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Fie matricea \(A\left( m \right)=\left( \begin{matrix} m-1 & -1 & 0 \\ 0 & m+1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)\in {{M}_{3}}\left( R \right)\).

(5p) a) Să se afle \(m\), ştiind că \(rangA\left( m \right)=3\);

(5p) b) Să se determine \({{A}^{-1}}\left( 2 \right)\);

(5p) c) c) Să se rezolve ecuaţia \(\det \left( A\left( m \right)\cdot A\left( m-1 \right) \right)=-1\), \(m\in R\).

2. Fie polinomul \(f\in R\left[ X \right]\), \(f={{X}^{5}}-2{{X}^{4}}+6{{X}^{3}}-12{{X}^{2}}+5X-10\).

(5p) a) Să se demonstreze că \(f\)nu are toate rădăcinile reale;

(5p) b) Să se determine o rădăcină reală a lui \(f\);

(5p) c) Să se demonstreze că \(f\)are patru rădăcini complexe diferite.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Fie funcţia \(f:R\backslash \left\{ -4 \right\}\to R\), \(f\left( x \right)=\frac{2{{x}^{2}}+9x+1}{x+4}\).

(5p) a) Să se studieze monotonia funcţiei \(f\) pe domeniul maxim de definiţie;

(5p) b) Să se determine asimptotele lui \(f\);

(5p) c) Să se calculeze limita \(\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( \frac{f\left( x \right)}{2x} \right)}^{2x+1}}\).

2. Se consideră integrala \({{I}_{n}}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{x}^{n}}}{1+x}dx}\), \(n\in {{N}^{*}}\).

(5p) a) Să se calculeze \({{I}_{1}}\);

(5p) b) Să se arate că \({{I}_{n+1}}=\frac{1}{n+1}-{{I}_{n}}\);

(5p) c) Să se calculeze \({{I}_{6}}\).