Varianta 58

Prof: Păcurar Cornel-Cosmin

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1.Determinați numărul elementelor mulțimii \(A=\left\{ \left. x\in \mathbb{Z} \right|\left| 2x-1 \right|\le 9 \right\}.\)

(5p) 2.Determinați coordonatele punctelor de intersecție a dreptei \(y=2x-1\) cu parabola \(y=3{{x}^{2}}-3x+1\).

(5p) 3.Rezolvați în \(\mathbb{R}\)ecuația \(\sqrt[3]{8-3x}=2-x\).

(5p) 4.Determinați numărul termenilor raționali ai dezvoltării \({{\left( 2-\sqrt{3} \right)}^{2012}}\).

(5p) 5.Calculați distanța de la punctul \(A\left( 1,2 \right)\)la dreapta determinată de punctele \(B\left( 2,0 \right)\) și \(C\left( 0,2 \right)\).

(5p) 6. Știind că \(x\in \left( \pi ,\frac{3\pi }{2} \right)\) și \(\cos 2x=\frac{1}{2},\) calculați \(\cos x\).

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1.Se consideră sistemul de ecuații \(\left\{ \begin{matrix} x-my+{{m}^{2}}z=0 \\ -mx+{{m}^{2}}y+z=0 \\ {{m}^{2}}x+y-mz=0 \\ \end{matrix} \right.\),unde \(m\in \mathbb{R}\).

(5p) a) Determinați valorile lui \(m\) pentru care determinantul matricei sistemului este nul.

(5p) b) Arătați că, pentru nicio valoare a lui \(m\),sistemul un are o soluție \(\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}},{{z}_{0}} \right)\) cu \({{x}_{0}},{{y}_{0}},{{z}_{0}}\) numere reale strict pozitive.

(5p) c) Arătați că rangul matricei sistemului este diferit de 2,oricare ar fi \(m\in \mathbb{R}\).

2.Pe mulțimea \(\mathbb{R}\) se definește legea de compoziție \(x*y=\frac{1}{3}\left( 2x+2y-xy+2 \right)\).

(5p) a)Verificați dacă legea de compoziție \(_{''}{{*}^{''}}\) este asociativă.

(5p) b)Arătați că legea de compoziție  \(_{''}{{*}^{''}}\) admite element neutru.

(5p) c)Rezolvați ecuația \(x*x*x*x=-1\).

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f\left( x \right)={{x}^{3}}-3x+2012\).

(5p) a)Calculați  \(\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{f\left( -x \right)}\).

(5p) b)Demonstrați că funcția \(f\) este crescătoare pe intervalul  \(\left[ 1,+\infty  \right)\).

(5p) c) Determinați \(m\in \mathbb{R}\) pentru care ecuația \(f\left( x \right)=m\) are trei soluții reale distincte.

2. Se consideră șirul \({{\left( {{I}_{n}} \right)}_{n\ge 1}},{{I}_{n}}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{x}^{n}}}{x+2012}}dx\).

(5p) a) Calculați \({{I}_{2}}\).

(5p) b) Arătați că \({{I}_{n+1}}\le {{I}_{n}},\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\) și \({{I}_{n+1}}+2012{{I}_{n}}=\frac{1}{n+1},\)\(\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\)

(5p) c) Calculați \(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{I}_{n}}\).