Varianta 60

Prof: Păcurar Cornel-Cosmin

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1.Calculați rația progresiei geometrice ${{\left( {{b}_{n}} \right)}_{n\ge 1}},$cu termeni pozitivi, dacă  ${{b}_{1}}+{{b}_{3}}=5$ și ${{b}_{3}}+{{b}_{5}}=20$.

(5p) 2.Să se determine valorile lui $a\in {{\mathbb{R}}^{*}}$ pentru care ecuația $a{{x}^{2}}+\left( 3a-2 \right)x+2a-1=0$ are soluții reale.

(5p) 3.Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația $2\ln \left( 2x-3 \right)-\ln \left( x-1 \right)=\ln \left( 5-2x \right)$.

(5p) 4.Determinați $n\in \mathbb{N},n\ge 2,$ pentru care  $C_{n}^{2}+A_{n}^{2}=63$.

(5p) 5.Să se arate că vectorii  $\overrightarrow{{{v}_{1}}}=2011\overrightarrow{i}+2012\overrightarrow{j}$ și $\overrightarrow{{{v}_{2}}}=2011\overrightarrow{i}-2012\overrightarrow{j}$ formează un unghi obtuz.

(5p) 6.Să se calculeze lungimea razei cercului circumscris triunghiului $ABC$ știind că $A=\frac{\pi }{4},B=\frac{\pi }{6}$ și $AB=12$.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1.Se consideră $a,b\in \mathbb{R}$ și sistemul $\left\{ \begin{matrix} ax+y+z=5 \\ 2x+3y+4z=9 \\ 4x-y-3z=b \\ \end{matrix} \right.$.

(5p) a) Să se determine $a,b$ pentru care sistemul are soluția $\left( 1,1,1 \right)$.

(5p) b)Să se determine a,b astfel încât sistemul să fie incompatibil.

(5p) c)Să se arate că pentru orice  $a\in \mathbb{Z}$, există $b\in \mathbb{Z}$ astfel încât sistemul să admită soluții cu tóate componentele întregi.

2. Se consideră polinomul $f={{X}^{5}}-2{{X}^{4}}-{{X}^{3}}+6{{X}^{2}}-3X-10\in \mathbb{C}\left[ X \right]$.

(5p) a)Să se determine o rădăcină întregă a polinomului  $f$.

(5p) b)Calculați ${{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}+{{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{3}} \right)}^{2}}+{{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{4}} \right)}^{2}}+$${{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{5}} \right)}^{2}}+$ ${{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{3}} \right)}^{2}}+$$...+{{\left( {{x}_{4}}-{{x}_{5}} \right)}^{2}}$, unde ${{x}_{1}},{{x}_{2}},....,{{x}_{5}}$ sunt rădăcinile polinomului $f$.

(5p) c)Să se arate că f are o singură rădăcină reală.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f\left( x \right)={{x}^{3}}+1001x-2012$.

(5p) a)Să se arate că, pentru orice  $n\in \mathbb{N}$ ecuația $f\left( x \right)=2+\frac{1}{n+2012}$ are soluție unică ${{x}_{n}}\in \mathbb{R}$.

(5p) b)Să se arate că  $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}_{n}}=2,$ unde ${{x}_{n}}$ este precizat la a).

(5p) c)Să se determine  $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,n\left( {{x}_{n}}-2 \right),$ unde ${{x}_{n}}$ este precizat la a).

2. Se consideră funcțiile $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f\left( x \right)=1+x+{{x}^{2}}+...+{{x}^{2010}}$ și $F:\mathbb{R}\to \mathbb{R},F\left( x \right)=\int\limits_{0}^{x}{f\left( t \right)dt}$.

(5p) a)Să se arate că funcția  $F$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$.

(5p) b)Să se arate că funcția  $F$ este bijectivă.

(5p) c) Să se calculeze $\int\limits_{0}^{a}{{{F}^{-1}}\left( x \right)}dx,$ unde ${{F}^{-1}}$ este inversa funcției $F$ și $a=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2011}$.