Varianta 60

Prof: Păcurar Cornel-Cosmin

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1.Calculați rația progresiei geometrice \({{\left( {{b}_{n}} \right)}_{n\ge 1}},\)cu termeni pozitivi, dacă  \({{b}_{1}}+{{b}_{3}}=5\) și \({{b}_{3}}+{{b}_{5}}=20\).

(5p) 2.Să se determine valorile lui \(a\in {{\mathbb{R}}^{*}}\) pentru care ecuația \(a{{x}^{2}}+\left( 3a-2 \right)x+2a-1=0\) are soluții reale.

(5p) 3.Rezolvați în \(\mathbb{R}\) ecuația \(2\ln \left( 2x-3 \right)-\ln \left( x-1 \right)=\ln \left( 5-2x \right)\).

(5p) 4.Determinați \(n\in \mathbb{N},n\ge 2,\) pentru care  \(C_{n}^{2}+A_{n}^{2}=63\).

(5p) 5.Să se arate că vectorii  \(\overrightarrow{{{v}_{1}}}=2011\overrightarrow{i}+2012\overrightarrow{j}\) și \(\overrightarrow{{{v}_{2}}}=2011\overrightarrow{i}-2012\overrightarrow{j}\) formează un unghi obtuz.

(5p) 6.Să se calculeze lungimea razei cercului circumscris triunghiului \(ABC\) știind că \(A=\frac{\pi }{4},B=\frac{\pi }{6}\) și \(AB=12\).

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1.Se consideră \(a,b\in \mathbb{R}\) și sistemul \(\left\{ \begin{matrix} ax+y+z=5 \\ 2x+3y+4z=9 \\ 4x-y-3z=b \\ \end{matrix} \right.\).

(5p) a) Să se determine \(a,b\) pentru care sistemul are soluția \(\left( 1,1,1 \right)\).

(5p) b)Să se determine a,b astfel încât sistemul să fie incompatibil.

(5p) c)Să se arate că pentru orice  \(a\in \mathbb{Z}\), există \(b\in \mathbb{Z}\) astfel încât sistemul să admită soluții cu tóate componentele întregi.

2. Se consideră polinomul \(f={{X}^{5}}-2{{X}^{4}}-{{X}^{3}}+6{{X}^{2}}-3X-10\in \mathbb{C}\left[ X \right]\).

(5p) a)Să se determine o rădăcină întregă a polinomului  \(f\).

(5p) b)Calculați \({{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}+{{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{3}} \right)}^{2}}+{{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{4}} \right)}^{2}}+\)\({{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{5}} \right)}^{2}}+\) \({{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{3}} \right)}^{2}}+\)\(...+{{\left( {{x}_{4}}-{{x}_{5}} \right)}^{2}}\), unde \({{x}_{1}},{{x}_{2}},....,{{x}_{5}}\) sunt rădăcinile polinomului \(f\).

(5p) c)Să se arate că f are o singură rădăcină reală.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f\left( x \right)={{x}^{3}}+1001x-2012\).

(5p) a)Să se arate că, pentru orice  \(n\in \mathbb{N}\) ecuația \(f\left( x \right)=2+\frac{1}{n+2012}\) are soluție unică \({{x}_{n}}\in \mathbb{R}\).

(5p) b)Să se arate că  \(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}_{n}}=2,\) unde \({{x}_{n}}\) este precizat la a).

(5p) c)Să se determine  \(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,n\left( {{x}_{n}}-2 \right),\) unde \({{x}_{n}}\) este precizat la a).

2. Se consideră funcțiile \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f\left( x \right)=1+x+{{x}^{2}}+...+{{x}^{2010}}\) și \(F:\mathbb{R}\to \mathbb{R},F\left( x \right)=\int\limits_{0}^{x}{f\left( t \right)dt}\).

(5p) a)Să se arate că funcția  \(F\) este strict crescătoare pe \(\mathbb{R}\).

(5p) b)Să se arate că funcția  \(F\) este bijectivă.

(5p) c) Să se calculeze \(\int\limits_{0}^{a}{{{F}^{-1}}\left( x \right)}dx,\) unde \({{F}^{-1}}\) este inversa funcției \(F\) și \(a=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2011}\).