Varianta 61

Prof. Pascotescu Camelia

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.
  

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Să se calculeze \(\sqrt{49}+\sqrt[3]{-1000}+(\sqrt 3)^2\) .

(5p) 2. Să se determine valorile reale ale lui \(m\) , ştiind că soluţiile \({{x}_{1}}\) şi \({{x}_{2}}\) ale ecuaţiei \({{x}^{2}}+mx-m+1=0\) verifică relaţia \(2({{x}_{1}}+{{x}_{2}})+{{x}_{1}}{{x}_{2}}=3\) .

(5p) 3. Să se rezolve ecuaţia \({{9}^{2x}}={{3}^{{{x}^{2}}}}\) .

(5p) 4. Rezolvaţi  in R ecuaţia \(\sqrt{2x-1}=2-x\)

(5p) 5. Aflati aria triunghiului determinat de punctele A(1,3) , B(-2, 4) , C(6,3) .

 (5p) 6. Ştiind că \(x\in \left( \frac{\pi }{2},\pi  \right)\) şi \(\cos x=-\frac{1}{3}\) , să se calculeze \(\sin x\) .

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră sistemul \(\left\{ \begin{align} & x+y+z=1 \\ & 3x+ay+2z=1 \\ & 9x+{{a}^{2}}y+4z=1 \\ \end{align} \right.\) , unde \(a\in \mathbb{R}\) şi se notează cu \(A\) matricea sistemului.

(5p) a) Calculaţi determinantul matricei \(A\) .

(5p) b) Determinaţi valorile reale ale numărului \(a\) pentru care matricea \(A\) este inversabilă.

(5p) c) Pentru \(a=1\) , rezolvaţi sistemul.

2. Fie \(H=\left\{ X\in {{M}_{3}}({{\mathbb{Z}}_{5}})|X=\left( \begin{align} & \begin{matrix} {\hat{0}} & a & b \\ \end{matrix} \\ & \begin{matrix} {\hat{0}} & {\hat{1}} & a \\ \end{matrix} \\ & \begin{matrix} {\hat{0}} & {\hat{0}} & {\hat{1}} \\ \end{matrix} \\ \end{align} \right) \right\}\).

(5p) a) Aflaţi numărul de elemente al mulţimii \(H\) .

(5p) b) Arătaţi că dacă \(A,B\in H\) atunci \(A\cdot B\in H\) .

(5p) c) Rezolvaţi în mulţimea \(H\) ecuaţia \({{X}^{3}}={{I}_{3}}\) .

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Fie funcţia \(f:(0;\infty )\to \mathbb{R}\) , \(f(x)=\frac{\ln x}{\sqrt{x}},x>0\).

(5p) a) Calculaţi \(f'(x)\) .

(5p) b) Determinaţi intervalele de monotonie ale funcţiei \(f\) .

(5p) c) Arătaţi că \({{3}^{\sqrt{5}}}<{{5}^{\sqrt{3}}}\) .

2. Pentru fiecare \(n\in \mathbb{N}\) se consideră integralele \({{I}_{n}}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{x}^{2n}}}{{{x}^{2}}+1}}\ \text{d}x\)

(5p) a) Calculaţi \({{I}_{1}},{{I}_{2}}\) .

(5p) b) Să se demonstreze că \({{I}_{n+1}}+{{I}_{n}}=\frac{1}{2n+1},\forall n\in \mathbb{N}\) .

(5p) c) Să se determine \(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\ {{I}_{n}}\).