Prof: RAT CRISTINA

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Sǎ se calculeze suma 2+5+8+......+110.

(5p) 2. Fie \(f:R\to R\), \(f(x)={{x}^{2}}+6x-5\), sǎ se determine imaginea funcției.

(5p) 3. Sǎ se calculeze \(A_{4}^{2}-2\cdot C_{4}^{3}+{{P}_{2}}\).

(5p) 4. Fie \(\overrightarrow{OA}=2\overrightarrow{i}+5\overrightarrow{j}\) și \(\overrightarrow{OB}=-3\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{j}\), sǎ se calculeze cosinusul unghiului format de cei doi vectori.

(5p) 5. Se considerǎ mulțimea A={1,2,3,7} , sǎ se determine cȃte numere de trei cifre distincte se pot forma cu elementele mulțimii A.

(5p) 6. Ştiind cǎ \(\sin x=\frac{1}{3}\), sǎ se calculeze \(t{{g}^{2}}x\).

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1.Se considerǎ permutǎrile \(\alpha ,\beta \in {{S}_{5}}\) cu \(\alpha =\left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 1 & 4 & 2 \\ \end{matrix} \right)si\beta =\left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 3 & 2 & 1 & 4 \\ \end{matrix} \right)\)

(5p) a) Calculați \(\alpha \beta \).

(5p) b) Rezolvați ecuația x\({{\alpha }^{2011}}=\beta \).

(5p) c) Determinați ordinul permutǎrii \(\alpha \).

2. Fie polinoamele cu coeficienți reali f=\({{x}^{6n+2}}+{{x}^{3n+1}}+1\) si g=\({{x}^{2}}+{{x}^{{}}}+1\).

(5p) a) Determinați rǎdǎcinile polinomului g.

(5p) b) Sǎ se determine a,b numere reale astfel incȃt g\(\centerdot \left( 2ax+b \right)=2a{{x}^{^{3}}}+7x(x+1)+3\)

(5p) c) Sǎ se demonstreze cǎ polinomul f se divide cu polinomul g.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se considerǎ funcția \(f:R\to R\), \(f(x)=\left\{ \begin{matrix}

   \frac{\sin ({{x}^{2}}-3x+2)}{{{x}^{2}}-1};x<1  \\

   \frac{5ax-3}{x+4};x\ge 1  \\

\end{matrix} \right.\).

(5p) a) Sǎ se determine \(a\in \mathbb{R}\)astfel incȃt f continuǎ ȋn \({{x}_{0}}=1\).

(5p) b) Dacǎ a=1 și x>1 sǎ se demonstreze egalitatea \(f''(x)+2f'(x)\cdot \frac{1}{x+4}=0\).

(5p) c) Sǎ se arate cǎ f(2010)\(\le \)f(2012).

2. Se considerǎ funcția\({{f}_{n}}(x)={{e}^{x}}{{(x+1)}^{n}}\),\(f:R\to R\).

(5p) a) Sǎ se calculeze \(\int\limits_{0}^{1}{{{f}_{1}}}(x)dx\).

(5p) b)Sǎ se determine o relație de recurențǎ pentru funcțiile \({{f}_{n}}\).

(5p) c) Sǎ se calculeze limita :\(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{{{n}^{2}}}\left[ {{e}^{\frac{1}{n}}}\left( 1+n \right)+{{e}^{\frac{2}{n}}}\left( 2+n \right)+....+{{e}^{\frac{n}{n}}}\left( n+n \right) \right]\).