Prof: RAT CRISTINA
- Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
- Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
- La toate subiectele se cer rezolvări complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. Sǎ se calculeze suma 2+5+8+......+110.
(5p) 2. Fie f:R→R, f(x)=x2+6x−5, sǎ se determine imaginea funcției.
(5p) 3. Sǎ se calculeze A24−2⋅C34+P2.
(5p) 4. Fie →OA=2→i+5→j și →OB=−3→i+4→j, sǎ se calculeze cosinusul unghiului format de cei doi vectori.
(5p) 5. Se considerǎ mulțimea A={1,2,3,7} , sǎ se determine cȃte numere de trei cifre distincte se pot forma cu elementele mulțimii A.
(5p) 6. Ştiind cǎ sinx=13, sǎ se calculeze tg2x.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.Se considerǎ permutǎrile α,β∈S5 cu α=(1234535142)siβ=(1234553214)
(5p) a) Calculați αβ.
(5p) b) Rezolvați ecuația xα2011=β.
(5p) c) Determinați ordinul permutǎrii α.
- Fie polinoamele cu coeficienți reali f=x6n+2+x3n+1+1 si g=x2+x+1.
(5p) a) Determinați rǎdǎcinile polinomului g.
(5p) b) Sǎ se determine a,b numere reale astfel incȃt g⋅(2ax+b)=2ax3+7x(x+1)+3
(5p) c) Sǎ se demonstreze cǎ polinomul f se divide cu polinomul g.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
- Se considerǎ funcția f:R→R, \(f(x)=\left\{ \begin{matrix}
\frac{\sin ({{x}^{2}}-3x+2)}{{{x}^{2}}-1};x<1 \\
\frac{5ax-3}{x+4};x\ge 1 \\
\end{matrix} \right.\).
(5p) a) Sǎ se determine a∈Rastfel incȃt f continuǎ ȋn x0=1.
(5p) b) Dacǎ a=1 și x>1 sǎ se demonstreze egalitatea f″.
(5p) c) Sǎ se arate cǎ f(2010)\le f(2012).
- Se considerǎ funcția{{f}_{n}}(x)={{e}^{x}}{{(x+1)}^{n}},f:R\to R.
(5p) a) Sǎ se calculeze \int\limits_{0}^{1}{{{f}_{1}}}(x)dx.
(5p) b)Sǎ se determine o relație de recurențǎ pentru funcțiile {{f}_{n}}.
(5p) c) Sǎ se calculeze limita :\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{{{n}^{2}}}\left[ {{e}^{\frac{1}{n}}}\left( 1+n \right)+{{e}^{\frac{2}{n}}}\left( 2+n \right)+....+{{e}^{\frac{n}{n}}}\left( n+n \right) \right].