Prof. RAT CRISTINA

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Sǎ se calculeze \({{(-\frac{1}{2}+\frac{i\sqrt{3}}{2})}^{9}}\).

(5p) 2. Fie \(f:R\to R\), \(f(x)={{x}^{2}}+(3m-1)x+m,m\in R\). Determinați \(m\in R\) cu graficul funcției f este tangent axei Ox.

(5p) 3. Fie \(a={{\log }_{3}}5,b={{\log }_{3}}2\), sǎ se arate cǎ \({{\log }_{30}}200=\frac{2a+3b}{1+a+b}\).

(5p) 4. Probabilitatea ca alegȃnd un numǎr de douǎ cifre , acesta sǎ conținǎ 7.

(5p) 5. Sǎ se determine aria \(\vartriangle ABC\) unde A(1,3), B(2,-5) și C(0,-3).

(5p) 6. Sǎ se calculeze cos \(\sphericalangle B\) dacǎ AB=6, BC=9 și AC=13.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1.Fie sistemul liniar \(\left\{ \begin{matrix} (m+1)x-y+4z=12 \\ x+y-mz=0 \\ 3x+y-2z=m-2 \\ \end{matrix} \right.\), sǎ se indeplineascǎ urmǎtoarele cerințe:

(5p) a) Aflați \(m\in \mathbb{R}\) pentru care determinantul matricii sistemului este -9.

(5p) b) Determinați \(m\in \mathbb{R}\) astfel ca soluția sistemului sǎ fie (1,2,3).

(5p) c) Pentru m=2 sǎ se rezolve sistemul.

2. Fie inelul\(({{Z}_{8}},\oplus ,\otimes )\), sǎ se indeplineascǎ urmatoarele cerințe:

(5p) a) Sǎ se rezolve ecuația : \(\hat{4}x+\hat{2}=\hat{6}\),\(x\in {{Z}_{8}}\).

(5p) b) Sǎ se demonstreze cǎ \((\forall )\hat{a},\hat{b}\in {{Z}_{8}}\) are loc relația \(\hat{3}(2\hat{a}+4\hat{b})+2(5\hat{a}+2\hat{b})=\hat{0}\)

(5p) c) Sǎ se calculeze \({{A}^{2}}\) ȋn inelul \(({{Z}_{8}},\oplus ,\otimes )\) unde : \(A=\left( \begin{matrix} {\hat{1}} & {\hat{0}} & {\hat{2}} \\ {\hat{2}} & {\hat{1}} & {\hat{1}} \\ {\hat{3}} & {\hat{4}} & {\hat{5}} \\ \end{matrix} \right)\). \({{A}^{2}}=A\cdot A\)

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Fie \(f(x)=\ln (2x+4)-\ln (x+3),f(x):(-2;+\infty )\to \mathbb{R}\):

(5p) a) Sǎ se arate cǎ graficul funcției f admite asimptotǎ spre \(+\infty \).

(5p) b) Sǎ se calculeze \(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,[f'(1)+f'(2)+f'(3)+....+f'(n)]\).

(5p) c) Sǎ se demonstreze cǎ \(f(x)\le \ln 2\forall x\in (-2;+\infty )\).

2. Se considerǎ funcția \(f:R\to R\),\(f(x)=\left\{ \begin{matrix} 2x+\ln (1-x)+1,x\in (-\infty ;0) \\ 3a,x=0 \\ \sqrt{x}+{{e}^{x}},x\in (0;+\infty ) \\ \end{matrix} \right.\)

(5p) a) Sǎ se determine \(a\in \mathbb{R}\)cȃnd funcția admite primitive.

(5p) b) Sǎ se calculeze \(\int\limits_{1}^{2}{f(x)dx}\).

(5p) c) Sǎ se calculeze \(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{1}{{{n}^{2}}}\sqrt{\frac{1}{{{n}^{2}}}+1}+\frac{2}{{{n}^{2}}}\sqrt{{{\left( \frac{2}{n} \right)}^{^{2}}}+1}+....+\frac{n}{{{n}^{2}}}\sqrt{{{\left( \frac{n}{n} \right)}^{2}}+1} \right)\cdot n\).