Prof. RAT CRISTINA
- Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
- Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
- La toate subiectele se cer rezolvări complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. Sǎ se calculeze (−12+i√32)9.
(5p) 2. Fie f:R→R, f(x)=x2+(3m−1)x+m,m∈R. Determinați m∈R cu graficul funcției f este tangent axei Ox.
(5p) 3. Fie a=log35,b=log32, sǎ se arate cǎ log30200=2a+3b1+a+b.
(5p) 4. Probabilitatea ca alegȃnd un numǎr de douǎ cifre , acesta sǎ conținǎ 7.
(5p) 5. Sǎ se determine aria △ABC unde A(1,3), B(2,-5) și C(0,-3).
(5p) 6. Sǎ se calculeze cos ∢B dacǎ AB=6, BC=9 și AC=13.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.Fie sistemul liniar {(m+1)x−y+4z=12x+y−mz=03x+y−2z=m−2, sǎ se indeplineascǎ urmǎtoarele cerințe:
(5p) a) Aflați m∈R pentru care determinantul matricii sistemului este -9.
(5p) b) Determinați m∈R astfel ca soluția sistemului sǎ fie (1,2,3).
(5p) c) Pentru m=2 sǎ se rezolve sistemul.
- Fie inelul(Z8,⊕,⊗), sǎ se indeplineascǎ urmatoarele cerințe:
(5p) a) Sǎ se rezolve ecuația : ˆ4x+ˆ2=ˆ6,x∈Z8.
(5p) b) Sǎ se demonstreze cǎ (∀)ˆa,ˆb∈Z8 are loc relația ˆ3(2ˆa+4ˆb)+2(5ˆa+2ˆb)=ˆ0
(5p) c) Sǎ se calculeze A2 ȋn inelul (Z8,⊕,⊗) unde : A=(ˆ1ˆ0ˆ2ˆ2ˆ1ˆ1ˆ3ˆ4ˆ5). A2=A⋅A
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
- Fie f(x)=ln(2x+4)−ln(x+3),f(x):(−2;+∞)→R:
(5p) a) Sǎ se arate cǎ graficul funcției f admite asimptotǎ spre +∞.
(5p) b) Sǎ se calculeze limn→∞[f′(1)+f′(2)+f′(3)+....+f′(n)].
(5p) c) Sǎ se demonstreze cǎ f(x)≤ln2∀x∈(−2;+∞).
- Se considerǎ funcția f:R→R,f(x)={2x+ln(1−x)+1,x∈(−∞;0)3a,x=0√x+ex,x∈(0;+∞)
(5p) a) Sǎ se determine a∈Rcȃnd funcția admite primitive.
(5p) b) Sǎ se calculeze 2∫1f(x)dx.
(5p) c) Sǎ se calculeze limn→∞(1n2√1n2+1+2n2√(2n)2+1+....+nn2√(nn)2+1)⋅n.